Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68370 / 68558
↖ ↑ ↗
← S  8.271291°
E  7.783813°		 ← 302.25 m → S  8.271291°
E  7.786560°		 →
↑
302.24 m
↓
↑
302.24 m
↓
S  8.274009°
E  7.783813°		 ← 302.25 m →
91 351 m²		 S  8.274009°
E  7.786560°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68370 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521625518798828 y=0.523059844970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521625518798828 × 217)
    floor (0.521625518798828 × 131072)
    floor (68370.5)     		tx = 68370
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523059844970703 × 217)
    floor (0.523059844970703 × 131072)
    floor (68558.5)     		ty = 68558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68370 / 68558 ti = "17/68370/68558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68370/68558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68370 ÷ 217
    68370 ÷ 131072     		x = 0.521621704101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68558 ÷ 217
    68558 ÷ 131072     		y = 0.523056030273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521621704101562 × 2 - 1) × π
    0.043243408203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.13585317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523056030273438 × 2 - 1) × π
    -0.046112060546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.14486531065181
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13585317} λ = 0.13585317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.14486531065181))-π/2
    2×atan(0.865138810246203)-π/2
    2×0.713217531729933-π/2
    1.42643506345987-1.57079632675     		φ = -0.14436126
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13585317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.783813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14436126 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.271291°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68370 KachelY 68558 0.13585317 -0.14436126 7.783813 -8.271291
    Oben rechts KachelX + 1 68371 KachelY 68558 0.13590111 -0.14436126 7.786560 -8.271291
    Unten links KachelX 68370 KachelY + 1 68559 0.13585317 -0.14440870 7.783813 -8.274009
    Unten rechts KachelX + 1 68371 KachelY + 1 68559 0.13590111 -0.14440870 7.786560 -8.274009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14436126--0.14440870) × R
    4.74400000000097e-05 × 6371000     		dl = 302.240240000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14436126--0.14440870) × R
    4.74400000000097e-05 × 6371000     		dr = 302.240240000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13585317-0.13590111) × cos(-0.14436126) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.989597997107022 × 6371000     		do = 302.248700568907m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13585317-0.13590111) × cos(-0.14440870) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.989591171257819 × 6371000     		du = 302.246615778863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14436126)-sin(-0.14440870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989597997107022-0.989591171257819)×R²
    abs(0.13590111-0.13585317)×6.8258492029738e-06×R²
    4.79399999999963e-05×6.8258492029738e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×6.8258492029738e-06×40589641000000     		ar = 91351.404763087m²