Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68369 / 69584
↖ ↑ ↗
← S 11.049038°
E  7.781067°		 ← 299.70 m → S 11.049038°
E  7.783813°		 →
↑
299.76 m
↓
↑
299.76 m
↓
S 11.051734°
E  7.781067°		 ← 299.70 m →
89 837 m²		 S 11.051734°
E  7.783813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68369 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521617889404297 y=0.530887603759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521617889404297 × 217)
    floor (0.521617889404297 × 131072)
    floor (68369.5)     		tx = 68369
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530887603759766 × 217)
    floor (0.530887603759766 × 131072)
    floor (69584.5)     		ty = 69584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68369 / 69584 ti = "17/68369/69584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68369/69584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68369 ÷ 217
    68369 ÷ 131072     		x = 0.521614074707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69584 ÷ 217
    69584 ÷ 131072     		y = 0.5308837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521614074707031 × 2 - 1) × π
    0.0432281494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13580524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5308837890625 × 2 - 1) × π
    -0.061767578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.194048569661987
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13580524} λ = 0.13580524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.194048569661987))-π/2
    2×atan(0.823617900454067)-π/2
    2×0.688977114237079-π/2
    1.37795422847416-1.57079632675     		φ = -0.19284210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13580524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.781067°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19284210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.049038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68369 KachelY 69584 0.13580524 -0.19284210 7.781067 -11.049038
    Oben rechts KachelX + 1 68370 KachelY 69584 0.13585317 -0.19284210 7.783813 -11.049038
    Unten links KachelX 68369 KachelY + 1 69585 0.13580524 -0.19288915 7.781067 -11.051734
    Unten rechts KachelX + 1 68370 KachelY + 1 69585 0.13585317 -0.19288915 7.783813 -11.051734
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19284210--0.19288915) × R
    4.70500000000207e-05 × 6371000     		dl = 299.755550000132m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19284210--0.19288915) × R
    4.70500000000207e-05 × 6371000     		dr = 299.755550000132m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13580524-0.13585317) × cos(-0.19284210) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.98146351389162 × 6371000     		do = 299.701690972888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13580524-0.13585317) × cos(-0.19288915) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.981454495715948 × 6371000     		du = 299.698937164458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19284210)-sin(-0.19288915))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98146351389162-0.981454495715948)×R²
    abs(0.13585317-0.13580524)×9.01817567189322e-06×R²
    4.79300000000016e-05×9.01817567189322e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×9.01817567189322e-06×40589641000000     		ar = 89836.8324954433m²