Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68367 / 69438
↖ ↑ ↗
← S 10.655210°
E  7.775574°		 ← 300.16 m → S 10.655210°
E  7.778320°		 →
↑
300.14 m
↓
↑
300.14 m
↓
S 10.657909°
E  7.775574°		 ← 300.16 m →
90 089 m²		 S 10.657909°
E  7.778320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68367 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521602630615234 y=0.529773712158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521602630615234 × 217)
    floor (0.521602630615234 × 131072)
    floor (68367.5)     		tx = 68367
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529773712158203 × 217)
    floor (0.529773712158203 × 131072)
    floor (69438.5)     		ty = 69438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68367 / 69438 ti = "17/68367/69438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68367/69438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68367 ÷ 217
    68367 ÷ 131072     		x = 0.521598815917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69438 ÷ 217
    69438 ÷ 131072     		y = 0.529769897460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521598815917969 × 2 - 1) × π
    0.0431976318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.13570936
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529769897460938 × 2 - 1) × π
    -0.059539794921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.187049782317459
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13570936} λ = 0.13570936}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.187049782317459))-π/2
    2×atan(0.829402445781784)-π/2
    2×0.692413918809238-π/2
    1.38482783761848-1.57079632675     		φ = -0.18596849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13570936} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.775574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18596849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.655210°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68367 KachelY 69438 0.13570936 -0.18596849 7.775574 -10.655210
    Oben rechts KachelX + 1 68368 KachelY 69438 0.13575730 -0.18596849 7.778320 -10.655210
    Unten links KachelX 68367 KachelY + 1 69439 0.13570936 -0.18601560 7.775574 -10.657909
    Unten rechts KachelX + 1 68368 KachelY + 1 69439 0.13575730 -0.18601560 7.778320 -10.657909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18596849--0.18601560) × R
    4.71100000000169e-05 × 6371000     		dl = 300.137810000107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18596849--0.18601560) × R
    4.71100000000169e-05 × 6371000     		dr = 300.137810000107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13570936-0.13575730) × cos(-0.18596849) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.982757639296088 × 6371000     		do = 300.159479222638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13570936-0.13575730) × cos(-0.18601560) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.982748927641405 × 6371000     		du = 300.156818459059m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18596849)-sin(-0.18601560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982757639296088-0.982748927641405)×R²
    abs(0.13575730-0.13570936)×8.71165468341317e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.71165468341317e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.71165468341317e-06×40589641000000     		ar = 90088.8094634337m²