Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68367 / 69142
↖ ↑ ↗
← S  9.855216°
E  7.775574°		 ← 300.92 m → S  9.855216°
E  7.778320°		 →
↑
300.90 m
↓
↑
300.90 m
↓
S  9.857922°
E  7.775574°		 ← 300.92 m →
90 547 m²		 S  9.857922°
E  7.778320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68367 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521602630615234 y=0.527515411376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521602630615234 × 217)
    floor (0.521602630615234 × 131072)
    floor (68367.5)     		tx = 68367
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527515411376953 × 217)
    floor (0.527515411376953 × 131072)
    floor (69142.5)     		ty = 69142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68367 / 69142 ti = "17/68367/69142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68367/69142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68367 ÷ 217
    68367 ÷ 131072     		x = 0.521598815917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69142 ÷ 217
    69142 ÷ 131072     		y = 0.527511596679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521598815917969 × 2 - 1) × π
    0.0431976318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.13570936
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527511596679688 × 2 - 1) × π
    -0.055023193359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.172860460029922
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13570936} λ = 0.13570936}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.172860460029922))-π/2
    2×atan(0.841254995351675)-π/2
    2×0.699395178801004-π/2
    1.39879035760201-1.57079632675     		φ = -0.17200597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13570936} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.775574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17200597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.855216°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68367 KachelY 69142 0.13570936 -0.17200597 7.775574 -9.855216
    Oben rechts KachelX + 1 68368 KachelY 69142 0.13575730 -0.17200597 7.778320 -9.855216
    Unten links KachelX 68367 KachelY + 1 69143 0.13570936 -0.17205320 7.775574 -9.857922
    Unten rechts KachelX + 1 68368 KachelY + 1 69143 0.13575730 -0.17205320 7.778320 -9.857922
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17200597--0.17205320) × R
    4.72299999999815e-05 × 6371000     		dl = 300.902329999882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17200597--0.17205320) × R
    4.72299999999815e-05 × 6371000     		dr = 300.902329999882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13570936-0.13575730) × cos(-0.17200597) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.985243409466091 × 6371000     		do = 300.918697416281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13570936-0.13575730) × cos(-0.17205320) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.985235324524773 × 6371000     		du = 300.916228067096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17200597)-sin(-0.17205320))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985243409466091-0.985235324524773)×R²
    abs(0.13575730-0.13570936)×8.08494131776527e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.08494131776527e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.08494131776527e-06×40589641000000     		ar = 90546.7656934801m²