Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68366 / 69586
↖ ↑ ↗
← S 11.054429°
E  7.772827°		 ← 299.70 m → S 11.054429°
E  7.775574°		 →
↑
299.76 m
↓
↑
299.76 m
↓
S 11.057125°
E  7.772827°		 ← 299.69 m →
89 835 m²		 S 11.057125°
E  7.775574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68366 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69586 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521595001220703 y=0.530902862548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521595001220703 × 217)
    floor (0.521595001220703 × 131072)
    floor (68366.5)     		tx = 68366
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530902862548828 × 217)
    floor (0.530902862548828 × 131072)
    floor (69586.5)     		ty = 69586
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68366 / 69586 ti = "17/68366/69586"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68366/69586.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68366 ÷ 217
    68366 ÷ 131072     		x = 0.521591186523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69586 ÷ 217
    69586 ÷ 131072     		y = 0.530899047851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521591186523438 × 2 - 1) × π
    0.043182373046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13566143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.530899047851562 × 2 - 1) × π
    -0.061798095703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.194144443461227
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13566143} λ = 0.13566143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.194144443461227))-π/2
    2×atan(0.823538940861967)-π/2
    2×0.68893006635142-π/2
    1.37786013270284-1.57079632675     		φ = -0.19293619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13566143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.772827°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19293619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.054429°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68366 KachelY 69586 0.13566143 -0.19293619 7.772827 -11.054429
    Oben rechts KachelX + 1 68367 KachelY 69586 0.13570936 -0.19293619 7.775574 -11.054429
    Unten links KachelX 68366 KachelY + 1 69587 0.13566143 -0.19298324 7.772827 -11.057125
    Unten rechts KachelX + 1 68367 KachelY + 1 69587 0.13570936 -0.19298324 7.775574 -11.057125
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19293619--0.19298324) × R
    4.70499999999929e-05 × 6371000     		dl = 299.755549999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19293619--0.19298324) × R
    4.70499999999929e-05 × 6371000     		dr = 299.755549999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13566143-0.13570936) × cos(-0.19293619) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.981445477285042 × 6371000     		do = 299.696183278089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13566143-0.13570936) × cos(-0.19298324) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.981436454764555 × 6371000     		du = 299.693428142918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19293619)-sin(-0.19298324))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981445477285042-0.981436454764555)×R²
    abs(0.13570936-0.13566143)×9.02252048651242e-06×R²
    4.79300000000016e-05×9.02252048651242e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×9.02252048651242e-06×40589641000000     		ar = 89835.181334488m²