Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68365 / 69437
↖ ↑ ↗
← S 10.652510°
E  7.770081°		 ← 300.16 m → S 10.652510°
E  7.772827°		 →
↑
300.14 m
↓
↑
300.14 m
↓
S 10.655210°
E  7.770081°		 ← 300.16 m →
90 090 m²		 S 10.655210°
E  7.772827°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68365 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69437 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521587371826172 y=0.529766082763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521587371826172 × 217)
    floor (0.521587371826172 × 131072)
    floor (68365.5)     		tx = 68365
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529766082763672 × 217)
    floor (0.529766082763672 × 131072)
    floor (69437.5)     		ty = 69437
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68365 / 69437 ti = "17/68365/69437"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68365/69437.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68365 ÷ 217
    68365 ÷ 131072     		x = 0.521583557128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69437 ÷ 217
    69437 ÷ 131072     		y = 0.529762268066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521583557128906 × 2 - 1) × π
    0.0431671142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.13561349
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529762268066406 × 2 - 1) × π
    -0.0595245361328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.187001845417839
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13561349} λ = 0.13561349}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.187001845417839))-π/2
    2×atan(0.829442205716549)-π/2
    2×0.692437474090777-π/2
    1.38487494818155-1.57079632675     		φ = -0.18592138
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13561349} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.770081°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18592138 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.652510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68365 KachelY 69437 0.13561349 -0.18592138 7.770081 -10.652510
    Oben rechts KachelX + 1 68366 KachelY 69437 0.13566143 -0.18592138 7.772827 -10.652510
    Unten links KachelX 68365 KachelY + 1 69438 0.13561349 -0.18596849 7.770081 -10.655210
    Unten rechts KachelX + 1 68366 KachelY + 1 69438 0.13566143 -0.18596849 7.772827 -10.655210
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18592138--0.18596849) × R
    4.71099999999891e-05 × 6371000     		dl = 300.137809999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18592138--0.18596849) × R
    4.71099999999891e-05 × 6371000     		dr = 300.137809999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13561349-0.13566143) × cos(-0.18592138) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.982766348769686 × 6371000     		do = 300.162139320056m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13561349-0.13566143) × cos(-0.18596849) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.982757639296088 × 6371000     		du = 300.159479222638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18592138)-sin(-0.18596849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982766348769686-0.982757639296088)×R²
    abs(0.13566143-0.13561349)×8.70947359832286e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.70947359832286e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.70947359832286e-06×40589641000000     		ar = 90089.6079591982m²