Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68361 / 69477
↖ ↑ ↗
← S 10.760461°
E  7.759094°		 ← 300.06 m → S 10.760461°
E  7.761841°		 →
↑
300.07 m
↓
↑
300.07 m
↓
S 10.763159°
E  7.759094°		 ← 300.05 m →
90 038 m²		 S 10.763159°
E  7.761841°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68361 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69477 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521556854248047 y=0.530071258544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521556854248047 × 217)
    floor (0.521556854248047 × 131072)
    floor (68361.5)     		tx = 68361
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530071258544922 × 217)
    floor (0.530071258544922 × 131072)
    floor (69477.5)     		ty = 69477
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68361 / 69477 ti = "17/68361/69477"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68361/69477.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68361 ÷ 217
    68361 ÷ 131072     		x = 0.521553039550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69477 ÷ 217
    69477 ÷ 131072     		y = 0.530067443847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521553039550781 × 2 - 1) × π
    0.0431060791015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13542174
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.530067443847656 × 2 - 1) × π
    -0.0601348876953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.188919321402641
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13542174} λ = 0.13542174}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.188919321402641))-π/2
    2×atan(0.827853294043125)-π/2
    2×0.691495426175872-π/2
    1.38299085235174-1.57079632675     		φ = -0.18780547
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13542174} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.759094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18780547 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.760461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68361 KachelY 69477 0.13542174 -0.18780547 7.759094 -10.760461
    Oben rechts KachelX + 1 68362 KachelY 69477 0.13546968 -0.18780547 7.761841 -10.760461
    Unten links KachelX 68361 KachelY + 1 69478 0.13542174 -0.18785257 7.759094 -10.763159
    Unten rechts KachelX + 1 68362 KachelY + 1 69478 0.13546968 -0.18785257 7.761841 -10.763159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18780547--0.18785257) × R
    4.70999999999944e-05 × 6371000     		dl = 300.074099999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18780547--0.18785257) × R
    4.70999999999944e-05 × 6371000     		dr = 300.074099999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13542174-0.13546968) × cos(-0.18780547) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.982416326648843 × 6371000     		do = 300.055233554782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13542174-0.13546968) × cos(-0.18785257) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.982407531828808 × 6371000     		du = 300.052547390364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18780547)-sin(-0.18785257))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982416326648843-0.982407531828808)×R²
    abs(0.13546968-0.13542174)×8.7948200349075e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.7948200349075e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.7948200349075e-06×40589641000000     		ar = 90038.4011517006m²