Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68360 / 68774
↖ ↑ ↗
← S  8.857934°
E  7.756347°		 ← 301.78 m → S  8.857934°
E  7.759094°		 →
↑
301.79 m
↓
↑
301.79 m
↓
S  8.860648°
E  7.756347°		 ← 301.78 m →
91 076 m²		 S  8.860648°
E  7.759094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68774 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521549224853516 y=0.524707794189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521549224853516 × 217)
    floor (0.521549224853516 × 131072)
    floor (68360.5)     		tx = 68360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524707794189453 × 217)
    floor (0.524707794189453 × 131072)
    floor (68774.5)     		ty = 68774
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68360 / 68774 ti = "17/68360/68774"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68360/68774.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68360 ÷ 217
    68360 ÷ 131072     		x = 0.52154541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68774 ÷ 217
    68774 ÷ 131072     		y = 0.524703979492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52154541015625 × 2 - 1) × π
    0.0430908203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.13537380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524703979492188 × 2 - 1) × π
    -0.049407958984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.155219680969742
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13537380} λ = 0.13537380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.155219680969742))-π/2
    2×atan(0.856227060030591)-π/2
    2×0.708098103074171-π/2
    1.41619620614834-1.57079632675     		φ = -0.15460012
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13537380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.756347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15460012 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.857934°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68360 KachelY 68774 0.13537380 -0.15460012 7.756347 -8.857934
    Oben rechts KachelX + 1 68361 KachelY 68774 0.13542174 -0.15460012 7.759094 -8.857934
    Unten links KachelX 68360 KachelY + 1 68775 0.13537380 -0.15464749 7.756347 -8.860648
    Unten rechts KachelX + 1 68361 KachelY + 1 68775 0.13542174 -0.15464749 7.759094 -8.860648
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15460012--0.15464749) × R
    4.7369999999991e-05 × 6371000     		dl = 301.794269999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15460012--0.15464749) × R
    4.7369999999991e-05 × 6371000     		dr = 301.794269999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13537380-0.13542174) × cos(-0.15460012) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.988073185293195 × 6371000     		do = 301.782983792483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13537380-0.13542174) × cos(-0.15464749) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.988065889915128 × 6371000     		du = 301.780755596238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15460012)-sin(-0.15464749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988073185293195-0.988065889915128)×R²
    abs(0.13542174-0.13537380)×7.29537806731795e-06×R²
    4.79400000000241e-05×7.29537806731795e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×7.29537806731795e-06×40589641000000     		ar = 91076.039080643m²