Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6836 / 1709
↖ ↑ ↗
← N 80.484968°
W 29.794922°		 ← 403.89 m → N 80.484968°
W 29.772949°		 →
↑
403.92 m
↓
↑
403.92 m
↓
N 80.481335°
W 29.794922°		 ← 404.04 m →
163 170 m²		 N 80.481335°
W 29.772949°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6836 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417266845703125 y=0.104339599609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417266845703125 × 214)
    floor (0.417266845703125 × 16384)
    floor (6836.5)     		tx = 6836
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.104339599609375 × 214)
    floor (0.104339599609375 × 16384)
    floor (1709.5)     		ty = 1709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6836 / 1709 ti = "14/6836/1709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6836/1709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6836 ÷ 214
    6836 ÷ 16384     		x = 0.417236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1709 ÷ 214
    1709 ÷ 16384     		y = 0.10430908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417236328125 × 2 - 1) × π
    -0.16552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.52001949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10430908203125 × 2 - 1) × π
    0.7913818359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.48619936189459
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52001949} λ = -0.52001949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48619936189459))-π/2
    2×atan(12.0155225762286)-π/2
    2×1.48776200981013-π/2
    2.97552401962026-1.57079632675     		φ = 1.40472769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52001949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.794922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40472769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.484968°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6836 KachelY 1709 -0.52001949 1.40472769 -29.794922 80.484968
    Oben rechts KachelX + 1 6837 KachelY 1709 -0.51963599 1.40472769 -29.772949 80.484968
    Unten links KachelX 6836 KachelY + 1 1710 -0.52001949 1.40466429 -29.794922 80.481335
    Unten rechts KachelX + 1 6837 KachelY + 1 1710 -0.51963599 1.40466429 -29.772949 80.481335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40472769-1.40466429) × R
    6.34000000001578e-05 × 6371000     		dl = 403.921400001005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40472769-1.40466429) × R
    6.34000000001578e-05 × 6371000     		dr = 403.921400001005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52001949--0.51963599) × cos(1.40472769) × R
    0.000383499999999981 × 0.165306359952726 × 6371000     		do = 403.889475185737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52001949--0.51963599) × cos(1.40466429) × R
    0.000383499999999981 × 0.165368887380123 × 6371000     		du = 404.042247104756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40472769)-sin(1.40466429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165306359952726-0.165368887380123)×R²
    abs(-0.51963599--0.52001949)×6.25274273969301e-05×R²
    0.000383499999999981×6.25274273969301e-05×6371000²
    0.000383499999999981×6.25274273969301e-05×40589641000000     		ar = 163170.456240594m²