Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6836 / 1708
↖ ↑ ↗
← N 80.488600°
W 29.794922°		 ← 403.74 m → N 80.488600°
W 29.772949°		 →
↑
403.86 m
↓
↑
403.86 m
↓
N 80.484968°
W 29.794922°		 ← 403.89 m →
163 083 m²		 N 80.484968°
W 29.772949°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6836 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1708 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417266845703125 y=0.104278564453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417266845703125 × 214)
    floor (0.417266845703125 × 16384)
    floor (6836.5)     		tx = 6836
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.104278564453125 × 214)
    floor (0.104278564453125 × 16384)
    floor (1708.5)     		ty = 1708
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6836 / 1708 ti = "14/6836/1708"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6836/1708.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6836 ÷ 214
    6836 ÷ 16384     		x = 0.417236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1708 ÷ 214
    1708 ÷ 16384     		y = 0.104248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417236328125 × 2 - 1) × π
    -0.16552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.52001949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.104248046875 × 2 - 1) × π
    0.79150390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.48658285709155
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52001949} λ = -0.52001949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48658285709155))-π/2
    2×atan(12.0201313550913)-π/2
    2×1.48779370091364-π/2
    2.97558740182727-1.57079632675     		φ = 1.40479108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52001949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.794922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40479108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.488600°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6836 KachelY 1708 -0.52001949 1.40479108 -29.794922 80.488600
    Oben rechts KachelX + 1 6837 KachelY 1708 -0.51963599 1.40479108 -29.772949 80.488600
    Unten links KachelX 6836 KachelY + 1 1709 -0.52001949 1.40472769 -29.794922 80.484968
    Unten rechts KachelX + 1 6837 KachelY + 1 1709 -0.51963599 1.40472769 -29.772949 80.484968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40479108-1.40472769) × R
    6.33899999999965e-05 × 6371000     		dl = 403.857689999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40479108-1.40472769) × R
    6.33899999999965e-05 × 6371000     		dr = 403.857689999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52001949--0.51963599) × cos(1.40479108) × R
    0.000383499999999981 × 0.165243841723398 × 6371000     		do = 403.736725740161m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52001949--0.51963599) × cos(1.40472769) × R
    0.000383499999999981 × 0.165306359952726 × 6371000     		du = 403.889475185737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40479108)-sin(1.40472769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165243841723398-0.165306359952726)×R²
    abs(-0.51963599--0.52001949)×6.2518229328179e-05×R²
    0.000383499999999981×6.2518229328179e-05×6371000²
    0.000383499999999981×6.2518229328179e-05×40589641000000     		ar = 163083.025999272m²