Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68359 / 69145
↖ ↑ ↗
← S  9.863334°
E  7.753601°		 ← 300.85 m → S  9.863334°
E  7.756347°		 →
↑
300.84 m
↓
↑
300.84 m
↓
S  9.866040°
E  7.753601°		 ← 300.85 m →
90 506 m²		 S  9.866040°
E  7.756347°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68359 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521541595458984 y=0.527538299560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521541595458984 × 217)
    floor (0.521541595458984 × 131072)
    floor (68359.5)     		tx = 68359
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527538299560547 × 217)
    floor (0.527538299560547 × 131072)
    floor (69145.5)     		ty = 69145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68359 / 69145 ti = "17/68359/69145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68359/69145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68359 ÷ 217
    68359 ÷ 131072     		x = 0.521537780761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69145 ÷ 217
    69145 ÷ 131072     		y = 0.527534484863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521537780761719 × 2 - 1) × π
    0.0430755615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.13532587
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527534484863281 × 2 - 1) × π
    -0.0550689697265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.173004270728783
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13532587} λ = 0.13532587}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.173004270728783))-π/2
    2×atan(0.841134022581672)-π/2
    2×0.699324335401491-π/2
    1.39864867080298-1.57079632675     		φ = -0.17214766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13532587} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.753601°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17214766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.863334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68359 KachelY 69145 0.13532587 -0.17214766 7.753601 -9.863334
    Oben rechts KachelX + 1 68360 KachelY 69145 0.13537380 -0.17214766 7.756347 -9.863334
    Unten links KachelX 68359 KachelY + 1 69146 0.13532587 -0.17219488 7.753601 -9.866040
    Unten rechts KachelX + 1 68360 KachelY + 1 69146 0.13537380 -0.17219488 7.756347 -9.866040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17214766--0.17219488) × R
    4.72199999999867e-05 × 6371000     		dl = 300.838619999915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17214766--0.17219488) × R
    4.72199999999867e-05 × 6371000     		dr = 300.838619999915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13532587-0.13537380) × cos(-0.17214766) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.985219148048942 × 6371000     		do = 300.848519043105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13532587-0.13537380) × cos(-0.17219488) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.985211058227917 × 6371000     		du = 300.846048718935m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17214766)-sin(-0.17219488))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985219148048942-0.985211058227917)×R²
    abs(0.13537380-0.13532587)×8.08982102507017e-06×R²
    4.79300000000016e-05×8.08982102507017e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×8.08982102507017e-06×40589641000000     		ar = 90506.4817302941m²