Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68355 / 69335
↖ ↑ ↗
← S 10.377064°
E  7.742615°		 ← 300.43 m → S 10.377064°
E  7.745362°		 →
↑
300.39 m
↓
↑
300.39 m
↓
S 10.379765°
E  7.742615°		 ← 300.43 m →
90 247 m²		 S 10.379765°
E  7.745362°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68355 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69335 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521511077880859 y=0.528987884521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521511077880859 × 217)
    floor (0.521511077880859 × 131072)
    floor (68355.5)     		tx = 68355
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528987884521484 × 217)
    floor (0.528987884521484 × 131072)
    floor (69335.5)     		ty = 69335
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68355 / 69335 ti = "17/68355/69335"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68355/69335.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68355 ÷ 217
    68355 ÷ 131072     		x = 0.521507263183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69335 ÷ 217
    69335 ÷ 131072     		y = 0.528984069824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521507263183594 × 2 - 1) × π
    0.0430145263671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13513412
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528984069824219 × 2 - 1) × π
    -0.0579681396484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.182112281656593
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13513412} λ = 0.13513412}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.182112281656593))-π/2
    2×atan(0.833507747530775)-π/2
    2×0.694841200336749-π/2
    1.3896824006735-1.57079632675     		φ = -0.18111393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13513412} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.742615°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18111393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.377064°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68355 KachelY 69335 0.13513412 -0.18111393 7.742615 -10.377064
    Oben rechts KachelX + 1 68356 KachelY 69335 0.13518206 -0.18111393 7.745362 -10.377064
    Unten links KachelX 68355 KachelY + 1 69336 0.13513412 -0.18116108 7.742615 -10.379765
    Unten rechts KachelX + 1 68356 KachelY + 1 69336 0.13518206 -0.18116108 7.745362 -10.379765
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18111393--0.18116108) × R
    4.71499999999958e-05 × 6371000     		dl = 300.392649999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18111393--0.18116108) × R
    4.71499999999958e-05 × 6371000     		dr = 300.392649999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13513412-0.13518206) × cos(-0.18111393) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.983643656020375 × 6371000     		do = 300.430091536305m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13513412-0.13518206) × cos(-0.18116108) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.983635162014618 × 6371000     		du = 300.427497248311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18111393)-sin(-0.18116108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983643656020375-0.983635162014618)×R²
    abs(0.13518206-0.13513412)×8.4940057574201e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.4940057574201e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.4940057574201e-06×40589641000000     		ar = 90246.6017005361m²