Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68352 / 68750
↖ ↑ ↗
← S  8.792797°
E  7.734375°		 ← 301.84 m → S  8.792797°
E  7.737122°		 →
↑
301.79 m
↓
↑
301.79 m
↓
S  8.795511°
E  7.734375°		 ← 301.83 m →
91 092 m²		 S  8.795511°
E  7.737122°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521488189697266 y=0.524524688720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521488189697266 × 217)
    floor (0.521488189697266 × 131072)
    floor (68352.5)     		tx = 68352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524524688720703 × 217)
    floor (0.524524688720703 × 131072)
    floor (68750.5)     		ty = 68750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68352 / 68750 ti = "17/68352/68750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68352/68750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68352 ÷ 217
    68352 ÷ 131072     		x = 0.521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68750 ÷ 217
    68750 ÷ 131072     		y = 0.524520874023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521484375 × 2 - 1) × π
    0.04296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13499031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524520874023438 × 2 - 1) × π
    -0.049041748046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.15406919537886
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13499031} λ = 0.13499031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.15406919537886))-π/2
    2×atan(0.857212703801439)-π/2
    2×0.708666535282427-π/2
    1.41733307056485-1.57079632675     		φ = -0.15346326
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13499031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.734375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15346326 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.792797°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68352 KachelY 68750 0.13499031 -0.15346326 7.734375 -8.792797
    Oben rechts KachelX + 1 68353 KachelY 68750 0.13503825 -0.15346326 7.737122 -8.792797
    Unten links KachelX 68352 KachelY + 1 68751 0.13499031 -0.15351063 7.734375 -8.795511
    Unten rechts KachelX + 1 68353 KachelY + 1 68751 0.13503825 -0.15351063 7.737122 -8.795511
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15346326--0.15351063) × R
    4.73700000000188e-05 × 6371000     		dl = 301.79427000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15346326--0.15351063) × R
    4.73700000000188e-05 × 6371000     		dr = 301.79427000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13499031-0.13503825) × cos(-0.15346326) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.988247606125767 × 6371000     		do = 301.836256404168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13499031-0.13503825) × cos(-0.15351063) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.988240363962969 × 6371000     		du = 301.834044461236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15346326)-sin(-0.15351063))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988247606125767-0.988240363962969)×R²
    abs(0.13503825-0.13499031)×7.24216279801571e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.24216279801571e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.24216279801571e-06×40589641000000     		ar = 91092.1189022802m²