Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68350 / 68871
↖ ↑ ↗
← S  9.121080°
E  7.728882°		 ← 301.50 m → S  9.121080°
E  7.731628°		 →
↑
301.54 m
↓
↑
301.54 m
↓
S  9.123792°
E  7.728882°		 ← 301.50 m →
90 914 m²		 S  9.123792°
E  7.731628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68350 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68871 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521472930908203 y=0.525447845458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521472930908203 × 217)
    floor (0.521472930908203 × 131072)
    floor (68350.5)     		tx = 68350
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525447845458984 × 217)
    floor (0.525447845458984 × 131072)
    floor (68871.5)     		ty = 68871
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68350 / 68871 ti = "17/68350/68871"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68350/68871.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68350 ÷ 217
    68350 ÷ 131072     		x = 0.521469116210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68871 ÷ 217
    68871 ÷ 131072     		y = 0.525444030761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521469116210938 × 2 - 1) × π
    0.042938232421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13489444
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525444030761719 × 2 - 1) × π
    -0.0508880615234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.159869560232887
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13489444} λ = 0.13489444}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.159869560232887))-π/2
    2×atan(0.85225494965332)-π/2
    2×0.705801722860113-π/2
    1.41160344572023-1.57079632675     		φ = -0.15919288
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13489444} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.728882°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15919288 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.121080°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68350 KachelY 68871 0.13489444 -0.15919288 7.728882 -9.121080
    Oben rechts KachelX + 1 68351 KachelY 68871 0.13494237 -0.15919288 7.731628 -9.121080
    Unten links KachelX 68350 KachelY + 1 68872 0.13489444 -0.15924021 7.728882 -9.123792
    Unten rechts KachelX + 1 68351 KachelY + 1 68872 0.13494237 -0.15924021 7.731628 -9.123792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15919288--0.15924021) × R
    4.73299999999843e-05 × 6371000     		dl = 301.5394299999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15919288--0.15924021) × R
    4.73299999999843e-05 × 6371000     		dr = 301.5394299999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13489444-0.13494237) × cos(-0.15919288) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.987355550711605 × 6371000     		do = 301.500895297074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13489444-0.13494237) × cos(-0.15924021) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.987348046790498 × 6371000     		du = 301.498603884491m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15919288)-sin(-0.15924021))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987355550711605-0.987348046790498)×R²
    abs(0.13494237-0.13489444)×7.50392110682174e-06×R²
    4.79300000000016e-05×7.50392110682174e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×7.50392110682174e-06×40589641000000     		ar = 90914.0626536832m²