Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68348 / 69188
↖ ↑ ↗
← S  9.979671°
E  7.723389°		 ← 300.80 m → S  9.979671°
E  7.726135°		 →
↑
300.77 m
↓
↑
300.77 m
↓
S  9.982376°
E  7.723389°		 ← 300.80 m →
90 474 m²		 S  9.982376°
E  7.726135°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68348 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521457672119141 y=0.527866363525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521457672119141 × 217)
    floor (0.521457672119141 × 131072)
    floor (68348.5)     		tx = 68348
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527866363525391 × 217)
    floor (0.527866363525391 × 131072)
    floor (69188.5)     		ty = 69188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68348 / 69188 ti = "17/68348/69188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68348/69188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68348 ÷ 217
    68348 ÷ 131072     		x = 0.521453857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69188 ÷ 217
    69188 ÷ 131072     		y = 0.527862548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521453857421875 × 2 - 1) × π
    0.04290771484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.13479856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527862548828125 × 2 - 1) × π
    -0.05572509765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.175065557412445
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13479856} λ = 0.13479856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.175065557412445))-π/2
    2×atan(0.839401989942926)-π/2
    2×0.6983091057905-π/2
    1.396618211581-1.57079632675     		φ = -0.17417812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13479856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.723389°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17417812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.979671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68348 KachelY 69188 0.13479856 -0.17417812 7.723389 -9.979671
    Oben rechts KachelX + 1 68349 KachelY 69188 0.13484650 -0.17417812 7.726135 -9.979671
    Unten links KachelX 68348 KachelY + 1 69189 0.13479856 -0.17422533 7.723389 -9.982376
    Unten rechts KachelX + 1 68349 KachelY + 1 69189 0.13484650 -0.17422533 7.726135 -9.982376
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17417812--0.17422533) × R
    4.72100000000197e-05 × 6371000     		dl = 300.774910000126m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17417812--0.17422533) × R
    4.72100000000197e-05 × 6371000     		dr = 300.774910000126m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13479856-0.13484650) × cos(-0.17417812) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.984869302300111 × 6371000     		do = 300.804435458272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13479856-0.13484650) × cos(-0.17422533) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.984861119768509 × 6371000     		du = 300.801936302502m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17417812)-sin(-0.17422533))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984869302300111-0.984861119768509)×R²
    abs(0.13484650-0.13479856)×8.18253160150828e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.18253160150828e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.18253160150828e-06×40589641000000     		ar = 90474.0511777264m²