Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68346 / 68866
↖ ↑ ↗
← S  9.107521°
E  7.717896°		 ← 301.51 m → S  9.107521°
E  7.720642°		 →
↑
301.60 m
↓
↑
301.60 m
↓
S  9.110233°
E  7.717896°		 ← 301.51 m →
90 937 m²		 S  9.110233°
E  7.720642°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68346 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68866 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521442413330078 y=0.525409698486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521442413330078 × 217)
    floor (0.521442413330078 × 131072)
    floor (68346.5)     		tx = 68346
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525409698486328 × 217)
    floor (0.525409698486328 × 131072)
    floor (68866.5)     		ty = 68866
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68346 / 68866 ti = "17/68346/68866"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68346/68866.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68346 ÷ 217
    68346 ÷ 131072     		x = 0.521438598632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68866 ÷ 217
    68866 ÷ 131072     		y = 0.525405883789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521438598632812 × 2 - 1) × π
    0.042877197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13470269
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525405883789062 × 2 - 1) × π
    -0.050811767578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.159629875734787
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13470269} λ = 0.13470269}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.159629875734787))-π/2
    2×atan(0.852459246435589)-π/2
    2×0.705920052016748-π/2
    1.4118401040335-1.57079632675     		φ = -0.15895622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13470269} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.717896°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15895622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.107521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68346 KachelY 68866 0.13470269 -0.15895622 7.717896 -9.107521
    Oben rechts KachelX + 1 68347 KachelY 68866 0.13475062 -0.15895622 7.720642 -9.107521
    Unten links KachelX 68346 KachelY + 1 68867 0.13470269 -0.15900356 7.717896 -9.110233
    Unten rechts KachelX + 1 68347 KachelY + 1 68867 0.13475062 -0.15900356 7.720642 -9.110233
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15895622--0.15900356) × R
    4.73399999999791e-05 × 6371000     		dl = 301.603139999867m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15895622--0.15900356) × R
    4.73399999999791e-05 × 6371000     		dr = 301.603139999867m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13470269-0.13475062) × cos(-0.15895622) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.987393038722625 × 6371000     		do = 301.512342712045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13470269-0.13475062) × cos(-0.15900356) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.987385544277827 × 6371000     		du = 301.510054193168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15895622)-sin(-0.15900356))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987393038722625-0.987385544277827)×R²
    abs(0.13475062-0.13470269)×7.49444479719585e-06×R²
    4.79299999999738e-05×7.49444479719585e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×7.49444479719585e-06×40589641000000     		ar = 90936.7242153883m²