Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68345 / 69401
↖ ↑ ↗
← S 10.555322°
E  7.715149°		 ← 300.26 m → S 10.555322°
E  7.717896°		 →
↑
300.27 m
↓
↑
300.27 m
↓
S 10.558022°
E  7.715149°		 ← 300.25 m →
90 156 m²		 S 10.558022°
E  7.717896°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68345 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521434783935547 y=0.529491424560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521434783935547 × 217)
    floor (0.521434783935547 × 131072)
    floor (68345.5)     		tx = 68345
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529491424560547 × 217)
    floor (0.529491424560547 × 131072)
    floor (69401.5)     		ty = 69401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68345 / 69401 ti = "17/68345/69401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68345/69401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68345 ÷ 217
    68345 ÷ 131072     		x = 0.521430969238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69401 ÷ 217
    69401 ÷ 131072     		y = 0.529487609863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521430969238281 × 2 - 1) × π
    0.0428619384765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13465475
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529487609863281 × 2 - 1) × π
    -0.0589752197265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.185276117031517
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13465475} λ = 0.13465475}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.185276117031517))-π/2
    2×atan(0.830874833483423)-π/2
    2×0.693285602848241-π/2
    1.38657120569648-1.57079632675     		φ = -0.18422512
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13465475} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.715149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18422512 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.555322°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68345 KachelY 69401 0.13465475 -0.18422512 7.715149 -10.555322
    Oben rechts KachelX + 1 68346 KachelY 69401 0.13470269 -0.18422512 7.717896 -10.555322
    Unten links KachelX 68345 KachelY + 1 69402 0.13465475 -0.18427225 7.715149 -10.558022
    Unten rechts KachelX + 1 68346 KachelY + 1 69402 0.13470269 -0.18427225 7.717896 -10.558022
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18422512--0.18427225) × R
    4.71300000000063e-05 × 6371000     		dl = 300.26523000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18422512--0.18427225) × R
    4.71300000000063e-05 × 6371000     		dr = 300.26523000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13465475-0.13470269) × cos(-0.18422512) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.983078492009246 × 6371000     		do = 300.257475900159m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13465475-0.13470269) × cos(-0.18427225) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.983069857416822 × 6371000     		du = 300.254838673378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18422512)-sin(-0.18427225))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983078492009246-0.983069857416822)×R²
    abs(0.13470269-0.13465475)×8.63459242328446e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.63459242328446e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.63459242328446e-06×40589641000000     		ar = 90156.4841432895m²