Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68344 / 69400
↖ ↑ ↗
← S 10.552622°
E  7.712402°		 ← 300.26 m → S 10.552622°
E  7.715149°		 →
↑
300.20 m
↓
↑
300.20 m
↓
S 10.555322°
E  7.712402°		 ← 300.26 m →
90 138 m²		 S 10.555322°
E  7.715149°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69400 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521427154541016 y=0.529483795166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521427154541016 × 217)
    floor (0.521427154541016 × 131072)
    floor (68344.5)     		tx = 68344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529483795166016 × 217)
    floor (0.529483795166016 × 131072)
    floor (69400.5)     		ty = 69400
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68344 / 69400 ti = "17/68344/69400"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68344/69400.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68344 ÷ 217
    68344 ÷ 131072     		x = 0.52142333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69400 ÷ 217
    69400 ÷ 131072     		y = 0.52947998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52142333984375 × 2 - 1) × π
    0.0428466796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13460681
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52947998046875 × 2 - 1) × π
    -0.0589599609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.185228180131897
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13460681} λ = 0.13460681}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.185228180131897))-π/2
    2×atan(0.83091466400158)-π/2
    2×0.69330916581918-π/2
    1.38661833163836-1.57079632675     		φ = -0.18417800
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13460681} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.712402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18417800 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.552622°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68344 KachelY 69400 0.13460681 -0.18417800 7.712402 -10.552622
    Oben rechts KachelX + 1 68345 KachelY 69400 0.13465475 -0.18417800 7.715149 -10.552622
    Unten links KachelX 68344 KachelY + 1 69401 0.13460681 -0.18422512 7.712402 -10.555322
    Unten rechts KachelX + 1 68345 KachelY + 1 69401 0.13465475 -0.18422512 7.715149 -10.555322
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18417800--0.18422512) × R
    4.71199999999838e-05 × 6371000     		dl = 300.201519999897m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18417800--0.18422512) × R
    4.71199999999838e-05 × 6371000     		dr = 300.201519999897m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13460681-0.13465475) × cos(-0.18417800) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.983087122586634 × 6371000     		do = 300.26011190047m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13460681-0.13465475) × cos(-0.18422512) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.983078492009246 × 6371000     		du = 300.257475899985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18417800)-sin(-0.18422512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983087122586634-0.983078492009246)×R²
    abs(0.13465475-0.13460681)×8.63057738820228e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.63057738820228e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.63057738820228e-06×40589641000000     		ar = 90138.146338868m²