Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68343 / 69397
↖ ↑ ↗
← S 10.544521°
E  7.709656°		 ← 300.21 m → S 10.544521°
E  7.712402°		 →
↑
300.27 m
↓
↑
300.27 m
↓
S 10.547221°
E  7.709656°		 ← 300.20 m →
90 141 m²		 S 10.547221°
E  7.712402°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68343 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69397 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521419525146484 y=0.529460906982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521419525146484 × 217)
    floor (0.521419525146484 × 131072)
    floor (68343.5)     		tx = 68343
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529460906982422 × 217)
    floor (0.529460906982422 × 131072)
    floor (69397.5)     		ty = 69397
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68343 / 69397 ti = "17/68343/69397"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68343/69397.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68343 ÷ 217
    68343 ÷ 131072     		x = 0.521415710449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69397 ÷ 217
    69397 ÷ 131072     		y = 0.529457092285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521415710449219 × 2 - 1) × π
    0.0428314208984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.13455888
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529457092285156 × 2 - 1) × π
    -0.0589141845703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.185084369433037
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13455888} λ = 0.13455888}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.185084369433037))-π/2
    2×atan(0.831034167012803)-π/2
    2×0.693379855972967-π/2
    1.38675971194593-1.57079632675     		φ = -0.18403661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13455888} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.709656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18403661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.544521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68343 KachelY 69397 0.13455888 -0.18403661 7.709656 -10.544521
    Oben rechts KachelX + 1 68344 KachelY 69397 0.13460681 -0.18403661 7.712402 -10.544521
    Unten links KachelX 68343 KachelY + 1 69398 0.13455888 -0.18408374 7.709656 -10.547221
    Unten rechts KachelX + 1 68344 KachelY + 1 69398 0.13460681 -0.18408374 7.712402 -10.547221
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18403661--0.18408374) × R
    4.71300000000063e-05 × 6371000     		dl = 300.26523000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18403661--0.18408374) × R
    4.71300000000063e-05 × 6371000     		dr = 300.26523000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13455888-0.13460681) × cos(-0.18403661) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.98311300671225 × 6371000     		do = 300.205383449066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13455888-0.13460681) × cos(-0.18408374) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.983104380854079 × 6371000     		du = 300.202749439505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18403661)-sin(-0.18408374))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98311300671225-0.983104380854079)×R²
    abs(0.13460681-0.13455888)×8.62585817063e-06×R²
    4.79300000000016e-05×8.62585817063e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×8.62585817063e-06×40589641000000     		ar = 90140.8430745241m²