Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6834 / 1883
↖ ↑ ↗
← N 79.831716°
W 29.838867°		 ← 431.34 m → N 79.831716°
W 29.816894°		 →
↑
431.44 m
↓
↑
431.44 m
↓
N 79.827836°
W 29.838867°		 ← 431.50 m →
186 133 m²		 N 79.827836°
W 29.816894°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6834 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1883 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417144775390625 y=0.114959716796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417144775390625 × 214)
    floor (0.417144775390625 × 16384)
    floor (6834.5)     		tx = 6834
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114959716796875 × 214)
    floor (0.114959716796875 × 16384)
    floor (1883.5)     		ty = 1883
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6834 / 1883 ti = "14/6834/1883"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6834/1883.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6834 ÷ 214
    6834 ÷ 16384     		x = 0.4171142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1883 ÷ 214
    1883 ÷ 16384     		y = 0.11492919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4171142578125 × 2 - 1) × π
    -0.165771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.52078648
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11492919921875 × 2 - 1) × π
    0.7701416015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.41947119762347
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52078648} λ = -0.52078648}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41947119762347))-π/2
    2×atan(11.2399140498237)-π/2
    2×1.48206130780172-π/2
    2.96412261560343-1.57079632675     		φ = 1.39332629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52078648} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.838867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39332629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.831716°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6834 KachelY 1883 -0.52078648 1.39332629 -29.838867 79.831716
    Oben rechts KachelX + 1 6835 KachelY 1883 -0.52040298 1.39332629 -29.816894 79.831716
    Unten links KachelX 6834 KachelY + 1 1884 -0.52078648 1.39325857 -29.838867 79.827836
    Unten rechts KachelX + 1 6835 KachelY + 1 1884 -0.52040298 1.39325857 -29.816894 79.827836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39332629-1.39325857) × R
    6.77200000001044e-05 × 6371000     		dl = 431.444120000665m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39332629-1.39325857) × R
    6.77200000001044e-05 × 6371000     		dr = 431.444120000665m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52078648--0.52040298) × cos(1.39332629) × R
    0.000383500000000092 × 0.176539914780593 × 6371000     		do = 431.336178175359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52078648--0.52040298) × cos(1.39325857) × R
    0.000383500000000092 × 0.17660657073033 × 6371000     		du = 431.499037224248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39332629)-sin(1.39325857))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176539914780593-0.17660657073033)×R²
    abs(-0.52040298--0.52078648)×6.6655949736788e-05×R²
    0.000383500000000092×6.6655949736788e-05×6371000²
    0.000383500000000092×6.6655949736788e-05×40589641000000     		ar = 186132.590177178m²