Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6833 / 1746
↖ ↑ ↗
← N 80.349631°
W 29.860840°		 ← 409.57 m → N 80.349631°
W 29.838867°		 →
↑
409.66 m
↓
↑
409.66 m
↓
N 80.345947°
W 29.860840°		 ← 409.72 m →
167 814 m²		 N 80.345947°
W 29.838867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6833 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417083740234375 y=0.106597900390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417083740234375 × 214)
    floor (0.417083740234375 × 16384)
    floor (6833.5)     		tx = 6833
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106597900390625 × 214)
    floor (0.106597900390625 × 16384)
    floor (1746.5)     		ty = 1746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6833 / 1746 ti = "14/6833/1746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6833/1746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6833 ÷ 214
    6833 ÷ 16384     		x = 0.41705322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1746 ÷ 214
    1746 ÷ 16384     		y = 0.1065673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41705322265625 × 2 - 1) × π
    -0.1658935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.52116997
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1065673828125 × 2 - 1) × π
    0.786865234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.47201003960706
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52116997} λ = -0.52116997}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47201003960706))-π/2
    2×atan(11.8462343369553)-π/2
    2×1.48658097380836-π/2
    2.97316194761672-1.57079632675     		φ = 1.40236562
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52116997} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.860840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40236562 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.349631°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6833 KachelY 1746 -0.52116997 1.40236562 -29.860840 80.349631
    Oben rechts KachelX + 1 6834 KachelY 1746 -0.52078648 1.40236562 -29.838867 80.349631
    Unten links KachelX 6833 KachelY + 1 1747 -0.52116997 1.40230132 -29.860840 80.345947
    Unten rechts KachelX + 1 6834 KachelY + 1 1747 -0.52078648 1.40230132 -29.838867 80.345947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40236562-1.40230132) × R
    6.43000000000171e-05 × 6371000     		dl = 409.655300000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40236562-1.40230132) × R
    6.43000000000171e-05 × 6371000     		dr = 409.655300000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52116997--0.52078648) × cos(1.40236562) × R
    0.000383489999999931 × 0.167635469903008 × 6371000     		do = 409.569459395556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52116997--0.52078648) × cos(1.40230132) × R
    0.000383489999999931 × 0.167698859650331 × 6371000     		du = 409.724334163749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40236562)-sin(1.40230132))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167635469903008-0.167698859650331)×R²
    abs(-0.52078648--0.52116997)×6.3389747322673e-05×R²
    0.000383489999999931×6.3389747322673e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.3389747322673e-05×40589641000000     		ar = 167814.022450973m²