Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68328 / 68872
↖ ↑ ↗
← S  9.123792°
E  7.668457°		 ← 301.56 m → S  9.123792°
E  7.671204°		 →
↑
301.54 m
↓
↑
301.54 m
↓
S  9.126504°
E  7.668457°		 ← 301.56 m →
90 932 m²		 S  9.126504°
E  7.671204°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521305084228516 y=0.525455474853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521305084228516 × 217)
    floor (0.521305084228516 × 131072)
    floor (68328.5)     		tx = 68328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525455474853516 × 217)
    floor (0.525455474853516 × 131072)
    floor (68872.5)     		ty = 68872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68328 / 68872 ti = "17/68328/68872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68328/68872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68328 ÷ 217
    68328 ÷ 131072     		x = 0.52130126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68872 ÷ 217
    68872 ÷ 131072     		y = 0.52545166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52130126953125 × 2 - 1) × π
    0.0426025390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13383982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52545166015625 × 2 - 1) × π
    -0.0509033203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.159917497132507
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13383982} λ = 0.13383982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.159917497132507))-π/2
    2×atan(0.85221409617255)-π/2
    2×0.705778057568081-π/2
    1.41155611513616-1.57079632675     		φ = -0.15924021
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13383982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.668457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15924021 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.123792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68328 KachelY 68872 0.13383982 -0.15924021 7.668457 -9.123792
    Oben rechts KachelX + 1 68329 KachelY 68872 0.13388776 -0.15924021 7.671204 -9.123792
    Unten links KachelX 68328 KachelY + 1 68873 0.13383982 -0.15928754 7.668457 -9.126504
    Unten rechts KachelX + 1 68329 KachelY + 1 68873 0.13388776 -0.15928754 7.671204 -9.126504
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15924021--0.15928754) × R
    4.73300000000121e-05 × 6371000     		dl = 301.539430000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15924021--0.15928754) × R
    4.73300000000121e-05 × 6371000     		dr = 301.539430000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13383982-0.13388776) × cos(-0.15924021) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.987348046790498 × 6371000     		do = 301.561507828519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13383982-0.13388776) × cos(-0.15928754) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.987340540657604 × 6371000     		du = 301.559215262326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15924021)-sin(-0.15928754))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987348046790498-0.987340540657604)×R²
    abs(0.13388776-0.13383982)×7.50613289379753e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.50613289379753e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.50613289379753e-06×40589641000000     		ar = 90932.33954802m²