Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68327 / 68892
↖ ↑ ↗
← S  9.178025°
E  7.665711°		 ← 301.45 m → S  9.178025°
E  7.668457°		 →
↑
301.48 m
↓
↑
301.48 m
↓
S  9.180736°
E  7.665711°		 ← 301.45 m →
90 880 m²		 S  9.180736°
E  7.668457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68327 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68892 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521297454833984 y=0.525608062744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521297454833984 × 217)
    floor (0.521297454833984 × 131072)
    floor (68327.5)     		tx = 68327
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525608062744141 × 217)
    floor (0.525608062744141 × 131072)
    floor (68892.5)     		ty = 68892
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68327 / 68892 ti = "17/68327/68892"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68327/68892.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68327 ÷ 217
    68327 ÷ 131072     		x = 0.521293640136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68892 ÷ 217
    68892 ÷ 131072     		y = 0.525604248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521293640136719 × 2 - 1) × π
    0.0425872802734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.13379189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525604248046875 × 2 - 1) × π
    -0.05120849609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.160876235124908
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13379189} λ = 0.13379189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.160876235124908))-π/2
    2×atan(0.851397437684204)-π/2
    2×0.705304789572046-π/2
    1.41060957914409-1.57079632675     		φ = -0.16018675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13379189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.665711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16018675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.178025°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68327 KachelY 68892 0.13379189 -0.16018675 7.665711 -9.178025
    Oben rechts KachelX + 1 68328 KachelY 68892 0.13383982 -0.16018675 7.668457 -9.178025
    Unten links KachelX 68327 KachelY + 1 68893 0.13379189 -0.16023407 7.665711 -9.180736
    Unten rechts KachelX + 1 68328 KachelY + 1 68893 0.13383982 -0.16023407 7.668457 -9.180736
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16018675--0.16023407) × R
    4.73200000000173e-05 × 6371000     		dl = 301.475720000111m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16018675--0.16023407) × R
    4.73200000000173e-05 × 6371000     		dr = 301.475720000111m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13379189-0.13383982) × cos(-0.16018675) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.987197513485661 × 6371000     		do = 301.452636728944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13379189-0.13383982) × cos(-0.16023407) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.987189964718864 × 6371000     		du = 301.450331622191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16018675)-sin(-0.16023407))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987197513485661-0.987189964718864)×R²
    abs(0.13383982-0.13379189)×7.54876679764926e-06×R²
    4.79300000000016e-05×7.54876679764926e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×7.54876679764926e-06×40589641000000     		ar = 90880.3032539018m²