Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68321 / 68965
↖ ↑ ↗
← S  9.375903°
E  7.649231°		 ← 301.28 m → S  9.375903°
E  7.651977°		 →
↑
301.35 m
↓
↑
301.35 m
↓
S  9.378613°
E  7.649231°		 ← 301.28 m →
90 791 m²		 S  9.378613°
E  7.651977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68965 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521251678466797 y=0.526165008544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521251678466797 × 217)
    floor (0.521251678466797 × 131072)
    floor (68321.5)     		tx = 68321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526165008544922 × 217)
    floor (0.526165008544922 × 131072)
    floor (68965.5)     		ty = 68965
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68321 / 68965 ti = "17/68321/68965"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68321/68965.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68321 ÷ 217
    68321 ÷ 131072     		x = 0.521247863769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68965 ÷ 217
    68965 ÷ 131072     		y = 0.526161193847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521247863769531 × 2 - 1) × π
    0.0424957275390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13350427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.526161193847656 × 2 - 1) × π
    -0.0523223876953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.164375628797173
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13350427} λ = 0.13350427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.164375628797173))-π/2
    2×atan(0.848423269805395)-π/2
    2×0.703577978604809-π/2
    1.40715595720962-1.57079632675     		φ = -0.16364037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13350427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.649231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16364037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.375903°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68321 KachelY 68965 0.13350427 -0.16364037 7.649231 -9.375903
    Oben rechts KachelX + 1 68322 KachelY 68965 0.13355220 -0.16364037 7.651977 -9.375903
    Unten links KachelX 68321 KachelY + 1 68966 0.13350427 -0.16368767 7.649231 -9.378613
    Unten rechts KachelX + 1 68322 KachelY + 1 68966 0.13355220 -0.16368767 7.651977 -9.378613
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16364037--0.16368767) × R
    4.73000000000001e-05 × 6371000     		dl = 301.348300000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16364037--0.16368767) × R
    4.73000000000001e-05 × 6371000     		dr = 301.348300000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13350427-0.13355220) × cos(-0.16364037) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.986640765931071 × 6371000     		do = 301.282627165476m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13350427-0.13355220) × cos(-0.16368767) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.986633059136335 × 6371000     		du = 301.280273802991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16364037)-sin(-0.16368767))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986640765931071-0.986633059136335)×R²
    abs(0.13355220-0.13350427)×7.70679473560687e-06×R²
    4.79300000000016e-05×7.70679473560687e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×7.70679473560687e-06×40589641000000     		ar = 90790.6529418943m²