Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68320 / 68898
↖ ↑ ↗
← S  9.194293°
E  7.646484°		 ← 301.50 m → S  9.194293°
E  7.649231°		 →
↑
301.48 m
↓
↑
301.48 m
↓
S  9.197004°
E  7.646484°		 ← 301.50 m →
90 895 m²		 S  9.197004°
E  7.649231°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68898 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521244049072266 y=0.525653839111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521244049072266 × 217)
    floor (0.521244049072266 × 131072)
    floor (68320.5)     		tx = 68320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525653839111328 × 217)
    floor (0.525653839111328 × 131072)
    floor (68898.5)     		ty = 68898
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68320 / 68898 ti = "17/68320/68898"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68320/68898.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68320 ÷ 217
    68320 ÷ 131072     		x = 0.521240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68898 ÷ 217
    68898 ÷ 131072     		y = 0.525650024414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521240234375 × 2 - 1) × π
    0.04248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13345633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525650024414062 × 2 - 1) × π
    -0.051300048828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.161163856522629
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13345633} λ = 0.13345633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.161163856522629))-π/2
    2×atan(0.851152592776167)-π/2
    2×0.705162823266045-π/2
    1.41032564653209-1.57079632675     		φ = -0.16047068
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13345633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.646484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16047068 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.194293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68320 KachelY 68898 0.13345633 -0.16047068 7.646484 -9.194293
    Oben rechts KachelX + 1 68321 KachelY 68898 0.13350427 -0.16047068 7.649231 -9.194293
    Unten links KachelX 68320 KachelY + 1 68899 0.13345633 -0.16051800 7.646484 -9.197004
    Unten rechts KachelX + 1 68321 KachelY + 1 68899 0.13350427 -0.16051800 7.649231 -9.197004
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16047068--0.16051800) × R
    4.73199999999896e-05 × 6371000     		dl = 301.475719999934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16047068--0.16051800) × R
    4.73199999999896e-05 × 6371000     		dr = 301.475719999934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13345633-0.13350427) × cos(-0.16047068) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.987152186129909 × 6371000     		do = 301.501686941322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13345633-0.13350427) × cos(-0.16051800) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.987144624099908 × 6371000     		du = 301.499377302713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16047068)-sin(-0.16051800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987152186129909-0.987144624099908)×R²
    abs(0.13350427-0.13345633)×7.56203000151778e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.56203000151778e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.56203000151778e-06×40589641000000     		ar = 90895.0900188558m²