Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 6832 / 7828
↖ ↑ ↗
← N 79.540621°
W142.470703°		 ← 110.89 m → N 79.540621°
W142.465210°		 →
↑
110.92 m
↓
↑
110.92 m
↓
N 79.539623°
W142.470703°		 ← 110.90 m →
12 301 m²		 N 79.539623°
W142.465210°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7828 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.104255676269531 y=0.119453430175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.104255676269531 × 216)
    floor (0.104255676269531 × 65536)
    floor (6832.5)     		tx = 6832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119453430175781 × 216)
    floor (0.119453430175781 × 65536)
    floor (7828.5)     		ty = 7828
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 6832 / 7828 ti = "16/6832/7828"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/6832/7828.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6832 ÷ 216
    6832 ÷ 65536     		x = 0.104248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7828 ÷ 216
    7828 ÷ 65536     		y = 0.11944580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.104248046875 × 2 - 1) × π
    -0.79150390625 × 3.1415926535     		Λ = -2.48658286
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11944580078125 × 2 - 1) × π
    0.7611083984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.3910925530484
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.48658286} λ = -2.48658286}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3910925530484))-π/2
    2×atan(10.9254240300579)-π/2
    2×1.47952102313018-π/2
    2.95904204626037-1.57079632675     		φ = 1.38824572
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.48658286} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.470703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38824572 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.540621°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6832 KachelY 7828 -2.48658286 1.38824572 -142.470703 79.540621
    Oben rechts KachelX + 1 6833 KachelY 7828 -2.48648698 1.38824572 -142.465210 79.540621
    Unten links KachelX 6832 KachelY + 1 7829 -2.48658286 1.38822831 -142.470703 79.539623
    Unten rechts KachelX + 1 6833 KachelY + 1 7829 -2.48648698 1.38822831 -142.465210 79.539623
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38824572-1.38822831) × R
    1.74100000001065e-05 × 6371000     		dl = 110.919110000679m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38824572-1.38822831) × R
    1.74100000001065e-05 × 6371000     		dr = 110.919110000679m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.48658286--2.48648698) × cos(1.38824572) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.181538386766277 × 6371000     		do = 110.89299223292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.48658286--2.48648698) × cos(1.38822831) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.181555507451748 × 6371000     		du = 110.903450428979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38824572)-sin(1.38822831))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181538386766277-0.181555507451748)×R²
    abs(-2.48648698--2.48658286)×1.7120685471439e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.7120685471439e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.7120685471439e-05×40589641000000     		ar = 12300.7320111041m²