Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 6832 / 7827
↖ ↑ ↗
← N 79.541618°
W142.470703°		 ← 110.88 m → N 79.541618°
W142.465210°		 →
↑
110.86 m
↓
↑
110.86 m
↓
N 79.540621°
W142.470703°		 ← 110.89 m →
12 293 m²		 N 79.540621°
W142.465210°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7827 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.104255676269531 y=0.119438171386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.104255676269531 × 216)
    floor (0.104255676269531 × 65536)
    floor (6832.5)     		tx = 6832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119438171386719 × 216)
    floor (0.119438171386719 × 65536)
    floor (7827.5)     		ty = 7827
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 6832 / 7827 ti = "16/6832/7827"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/6832/7827.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6832 ÷ 216
    6832 ÷ 65536     		x = 0.104248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7827 ÷ 216
    7827 ÷ 65536     		y = 0.119430541992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.104248046875 × 2 - 1) × π
    -0.79150390625 × 3.1415926535     		Λ = -2.48658286
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119430541992188 × 2 - 1) × π
    0.761138916015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.39118842684764
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.48658286} λ = -2.48658286}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39118842684764))-π/2
    2×atan(10.9264715421817)-π/2
    2×1.47952972510741-π/2
    2.95905945021482-1.57079632675     		φ = 1.38826312
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.48658286} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.470703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38826312 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.541618°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6832 KachelY 7827 -2.48658286 1.38826312 -142.470703 79.541618
    Oben rechts KachelX + 1 6833 KachelY 7827 -2.48648698 1.38826312 -142.465210 79.541618
    Unten links KachelX 6832 KachelY + 1 7828 -2.48658286 1.38824572 -142.470703 79.540621
    Unten rechts KachelX + 1 6833 KachelY + 1 7828 -2.48648698 1.38824572 -142.465210 79.540621
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38826312-1.38824572) × R
    1.73999999999452e-05 × 6371000     		dl = 110.855399999651m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38826312-1.38824572) × R
    1.73999999999452e-05 × 6371000     		dr = 110.855399999651m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.48658286--2.48648698) × cos(1.38826312) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.18152127585965 × 6371000     		do = 110.882540010283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.48658286--2.48648698) × cos(1.38824572) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.181538386766277 × 6371000     		du = 110.89299223292m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38826312)-sin(1.38824572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18152127585965-0.181538386766277)×R²
    abs(-2.48648698--2.48658286)×1.71109066268715e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.71109066268715e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.71109066268715e-05×40589641000000     		ar = 12292.5076689972m²