Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68319 / 68894
↖ ↑ ↗
← S  9.183447°
E  7.643738°		 ← 301.51 m → S  9.183447°
E  7.646484°		 →
↑
301.54 m
↓
↑
301.54 m
↓
S  9.186159°
E  7.643738°		 ← 301.51 m →
90 917 m²		 S  9.186159°
E  7.646484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68319 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68894 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521236419677734 y=0.525623321533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521236419677734 × 217)
    floor (0.521236419677734 × 131072)
    floor (68319.5)     		tx = 68319
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525623321533203 × 217)
    floor (0.525623321533203 × 131072)
    floor (68894.5)     		ty = 68894
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68319 / 68894 ti = "17/68319/68894"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68319/68894.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68319 ÷ 217
    68319 ÷ 131072     		x = 0.521232604980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68894 ÷ 217
    68894 ÷ 131072     		y = 0.525619506835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521232604980469 × 2 - 1) × π
    0.0424652099609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.13340839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525619506835938 × 2 - 1) × π
    -0.051239013671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.160972108924149
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13340839} λ = 0.13340839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.160972108924149))-π/2
    2×atan(0.851315814889996)-π/2
    2×0.705257466745823-π/2
    1.41051493349165-1.57079632675     		φ = -0.16028139
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13340839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.643738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16028139 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.183447°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68319 KachelY 68894 0.13340839 -0.16028139 7.643738 -9.183447
    Oben rechts KachelX + 1 68320 KachelY 68894 0.13345633 -0.16028139 7.646484 -9.183447
    Unten links KachelX 68319 KachelY + 1 68895 0.13340839 -0.16032872 7.643738 -9.186159
    Unten rechts KachelX + 1 68320 KachelY + 1 68895 0.13345633 -0.16032872 7.646484 -9.186159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16028139--0.16032872) × R
    4.73300000000121e-05 × 6371000     		dl = 301.539430000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16028139--0.16032872) × R
    4.73300000000121e-05 × 6371000     		dr = 301.539430000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13340839-0.13345633) × cos(-0.16028139) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.987182413741568 × 6371000     		do = 301.510919232156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13340839-0.13345633) × cos(-0.16032872) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.987174858957363 × 6371000     		du = 301.5086118066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16028139)-sin(-0.16032872))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987182413741568-0.987174858957363)×R²
    abs(0.13345633-0.13340839)×7.55478420466638e-06×R²
    4.79400000000241e-05×7.55478420466638e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×7.55478420466638e-06×40589641000000     		ar = 90917.0828511265m²