Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68318 / 68961
↖ ↑ ↗
← S  9.365063°
E  7.640991°		 ← 301.35 m → S  9.365063°
E  7.643738°		 →
↑
301.35 m
↓
↑
301.35 m
↓
S  9.367773°
E  7.640991°		 ← 301.35 m →
90 812 m²		 S  9.367773°
E  7.643738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68318 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521228790283203 y=0.526134490966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521228790283203 × 217)
    floor (0.521228790283203 × 131072)
    floor (68318.5)     		tx = 68318
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526134490966797 × 217)
    floor (0.526134490966797 × 131072)
    floor (68961.5)     		ty = 68961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68318 / 68961 ti = "17/68318/68961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68318/68961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68318 ÷ 217
    68318 ÷ 131072     		x = 0.521224975585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68961 ÷ 217
    68961 ÷ 131072     		y = 0.526130676269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521224975585938 × 2 - 1) × π
    0.042449951171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13336045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.526130676269531 × 2 - 1) × π
    -0.0522613525390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.164183881198692
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13336045} λ = 0.13336045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.164183881198692))-π/2
    2×atan(0.848585968527921)-π/2
    2×0.70367257308042-π/2
    1.40734514616084-1.57079632675     		φ = -0.16345118
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13336045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.640991°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16345118 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.365063°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68318 KachelY 68961 0.13336045 -0.16345118 7.640991 -9.365063
    Oben rechts KachelX + 1 68319 KachelY 68961 0.13340839 -0.16345118 7.643738 -9.365063
    Unten links KachelX 68318 KachelY + 1 68962 0.13336045 -0.16349848 7.640991 -9.367773
    Unten rechts KachelX + 1 68319 KachelY + 1 68962 0.13340839 -0.16349848 7.643738 -9.367773
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16345118--0.16349848) × R
    4.73000000000001e-05 × 6371000     		dl = 301.348300000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16345118--0.16349848) × R
    4.73000000000001e-05 × 6371000     		dr = 301.348300000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13336045-0.13340839) × cos(-0.16345118) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.986671569408582 × 6371000     		do = 301.354894223554m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13336045-0.13340839) × cos(-0.16349848) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.986663871443089 × 6371000     		du = 301.352543066747m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16345118)-sin(-0.16349848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986671569408582-0.986663871443089)×R²
    abs(0.13340839-0.13336045)×7.69796549293655e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.69796549293655e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.69796549293655e-06×40589641000000     		ar = 90812.4308293277m²