Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68316 / 69428
↖ ↑ ↗
← S 10.628216°
E  7.635498°		 ← 300.19 m → S 10.628216°
E  7.638245°		 →
↑
300.20 m
↓
↑
300.20 m
↓
S 10.630916°
E  7.635498°		 ← 300.18 m →
90 116 m²		 S 10.630916°
E  7.638245°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68316 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69428 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521213531494141 y=0.529697418212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521213531494141 × 217)
    floor (0.521213531494141 × 131072)
    floor (68316.5)     		tx = 68316
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529697418212891 × 217)
    floor (0.529697418212891 × 131072)
    floor (69428.5)     		ty = 69428
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68316 / 69428 ti = "17/68316/69428"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68316/69428.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68316 ÷ 217
    68316 ÷ 131072     		x = 0.521209716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69428 ÷ 217
    69428 ÷ 131072     		y = 0.529693603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521209716796875 × 2 - 1) × π
    0.04241943359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.13326458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529693603515625 × 2 - 1) × π
    -0.05938720703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.186570413321259
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13326458} λ = 0.13326458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.186570413321259))-π/2
    2×atan(0.82980013091101)-π/2
    2×0.692649481011413-π/2
    1.38529896202283-1.57079632675     		φ = -0.18549736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13326458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.635498°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18549736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.628216°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68316 KachelY 69428 0.13326458 -0.18549736 7.635498 -10.628216
    Oben rechts KachelX + 1 68317 KachelY 69428 0.13331252 -0.18549736 7.638245 -10.628216
    Unten links KachelX 68316 KachelY + 1 69429 0.13326458 -0.18554448 7.635498 -10.630916
    Unten rechts KachelX + 1 68317 KachelY + 1 69429 0.13331252 -0.18554448 7.638245 -10.630916
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18549736--0.18554448) × R
    4.71200000000116e-05 × 6371000     		dl = 300.201520000074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18549736--0.18554448) × R
    4.71200000000116e-05 × 6371000     		dr = 300.201520000074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13326458-0.13331252) × cos(-0.18549736) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.982844641413109 × 6371000     		do = 300.186051908611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13326458-0.13331252) × cos(-0.18554448) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.98283594972672 × 6371000     		du = 300.183397243863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18549736)-sin(-0.18554448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982844641413109-0.98283594972672)×R²
    abs(0.13331252-0.13326458)×8.69168638972795e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.69168638972795e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.69168638972795e-06×40589641000000     		ar = 90115.910615243m²