Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68311 / 69418
↖ ↑ ↗
← S 10.601220°
E  7.621765°		 ← 300.15 m → S 10.601220°
E  7.624512°		 →
↑
300.20 m
↓
↑
300.20 m
↓
S 10.603920°
E  7.621765°		 ← 300.15 m →
90 105 m²		 S 10.603920°
E  7.624512°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68311 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69418 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521175384521484 y=0.529621124267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521175384521484 × 217)
    floor (0.521175384521484 × 131072)
    floor (68311.5)     		tx = 68311
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529621124267578 × 217)
    floor (0.529621124267578 × 131072)
    floor (69418.5)     		ty = 69418
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68311 / 69418 ti = "17/68311/69418"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68311/69418.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68311 ÷ 217
    68311 ÷ 131072     		x = 0.521171569824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69418 ÷ 217
    69418 ÷ 131072     		y = 0.529617309570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521171569824219 × 2 - 1) × π
    0.0423431396484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.13302490
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529617309570312 × 2 - 1) × π
    -0.059234619140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.186091044325058
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13302490} λ = 0.13302490}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.186091044325058))-π/2
    2×atan(0.830198006723857)-π/2
    2×0.692885064041175-π/2
    1.38577012808235-1.57079632675     		φ = -0.18502620
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13302490} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.621765°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18502620 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.601220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68311 KachelY 69418 0.13302490 -0.18502620 7.621765 -10.601220
    Oben rechts KachelX + 1 68312 KachelY 69418 0.13307283 -0.18502620 7.624512 -10.601220
    Unten links KachelX 68311 KachelY + 1 69419 0.13302490 -0.18507332 7.621765 -10.603920
    Unten rechts KachelX + 1 68312 KachelY + 1 69419 0.13307283 -0.18507332 7.624512 -10.603920
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18502620--0.18507332) × R
    4.71200000000116e-05 × 6371000     		dl = 300.201520000074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18502620--0.18507332) × R
    4.71200000000116e-05 × 6371000     		dr = 300.201520000074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13302490-0.13307283) × cos(-0.18502620) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.98293143089369 × 6371000     		do = 300.149937088512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13302490-0.13307283) × cos(-0.18507332) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.98292276102836 × 6371000     		du = 300.147289640835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18502620)-sin(-0.18507332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98293143089369-0.98292276102836)×R²
    abs(0.13307283-0.13302490)×8.66986533021308e-06×R²
    4.79300000000016e-05×8.66986533021308e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×8.66986533021308e-06×40589641000000     		ar = 90105.0699746797m²