Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68311 / 48080
↖ ↑ ↗
← N 43.165123°
E  7.621765°		 ← 222.73 m → N 43.165123°
E  7.624512°		 →
↑
222.73 m
↓
↑
222.73 m
↓
N 43.163119°
E  7.621765°		 ← 222.73 m →
49 609 m²		 N 43.163119°
E  7.624512°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68311 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521175384521484 y=0.366825103759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521175384521484 × 217)
    floor (0.521175384521484 × 131072)
    floor (68311.5)     		tx = 68311
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366825103759766 × 217)
    floor (0.366825103759766 × 131072)
    floor (48080.5)     		ty = 48080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68311 / 48080 ti = "17/68311/48080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68311/48080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68311 ÷ 217
    68311 ÷ 131072     		x = 0.521171569824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48080 ÷ 217
    48080 ÷ 131072     		y = 0.3668212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521171569824219 × 2 - 1) × π
    0.0423431396484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.13302490
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3668212890625 × 2 - 1) × π
    0.266357421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.8367865197677
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13302490} λ = 0.13302490}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.8367865197677))-π/2
    2×atan(2.30893532441965)-π/2
    2×1.16208491936285-π/2
    2.32416983872569-1.57079632675     		φ = 0.75337351
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13302490} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.621765°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75337351 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.165123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68311 KachelY 48080 0.13302490 0.75337351 7.621765 43.165123
    Oben rechts KachelX + 1 68312 KachelY 48080 0.13307283 0.75337351 7.624512 43.165123
    Unten links KachelX 68311 KachelY + 1 48081 0.13302490 0.75333855 7.621765 43.163119
    Unten rechts KachelX + 1 68312 KachelY + 1 48081 0.13307283 0.75333855 7.624512 43.163119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75337351-0.75333855) × R
    3.49599999999173e-05 × 6371000     		dl = 222.730159999473m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75337351-0.75333855) × R
    3.49599999999173e-05 × 6371000     		dr = 222.730159999473m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13302490-0.13307283) × cos(0.75337351) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.72938519454798 × 6371000     		do = 222.726543659123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13302490-0.13307283) × cos(0.75333855) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.72940911035139 × 6371000     		du = 222.733846637402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75337351)-sin(0.75333855))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72938519454798-0.72940911035139)×R²
    abs(0.13307283-0.13302490)×2.39158034097686e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39158034097686e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39158034097686e-05×40589641000000     		ar = 49608.7320069756m²