Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 6831 / 7826
↖ ↑ ↗
← N 79.542615°
W142.476196°		 ← 110.86 m → N 79.542615°
W142.470703°		 →
↑
110.92 m
↓
↑
110.92 m
↓
N 79.541618°
W142.476196°		 ← 110.87 m →
12 297 m²		 N 79.541618°
W142.470703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6831 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.104240417480469 y=0.119422912597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.104240417480469 × 216)
    floor (0.104240417480469 × 65536)
    floor (6831.5)     		tx = 6831
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119422912597656 × 216)
    floor (0.119422912597656 × 65536)
    floor (7826.5)     		ty = 7826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 6831 / 7826 ti = "16/6831/7826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/6831/7826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6831 ÷ 216
    6831 ÷ 65536     		x = 0.104232788085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7826 ÷ 216
    7826 ÷ 65536     		y = 0.119415283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.104232788085938 × 2 - 1) × π
    -0.791534423828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.48667873
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119415283203125 × 2 - 1) × π
    0.76116943359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.39128430064688
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.48667873} λ = -2.48667873}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39128430064688))-π/2
    2×atan(10.9275191547392)-π/2
    2×1.47953842626425-π/2
    2.95907685252849-1.57079632675     		φ = 1.38828053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.48667873} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.476196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38828053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.542615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6831 KachelY 7826 -2.48667873 1.38828053 -142.476196 79.542615
    Oben rechts KachelX + 1 6832 KachelY 7826 -2.48658286 1.38828053 -142.470703 79.542615
    Unten links KachelX 6831 KachelY + 1 7827 -2.48667873 1.38826312 -142.476196 79.541618
    Unten rechts KachelX + 1 6832 KachelY + 1 7827 -2.48658286 1.38826312 -142.470703 79.541618
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38828053-1.38826312) × R
    1.74100000001065e-05 × 6371000     		dl = 110.919110000679m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38828053-1.38826312) × R
    1.74100000001065e-05 × 6371000     		dr = 110.919110000679m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.48667873--2.48658286) × cos(1.38828053) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.181504155064163 × 6371000     		do = 110.860518117372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.48667873--2.48658286) × cos(1.38826312) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.18152127585965 × 6371000     		du = 110.870975289868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38828053)-sin(1.38826312))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181504155064163-0.18152127585965)×R²
    abs(-2.48658286--2.48667873)×1.71207954861585e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.71207954861585e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.71207954861585e-05×40589641000000     		ar = 12297.1299540607m²