Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68309 / 48079
↖ ↑ ↗
← N 43.167126°
E  7.616272°		 ← 222.77 m → N 43.167126°
E  7.619019°		 →
↑
222.79 m
↓
↑
222.79 m
↓
N 43.165123°
E  7.616272°		 ← 222.77 m →
49 632 m²		 N 43.165123°
E  7.619019°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68309 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521160125732422 y=0.366817474365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521160125732422 × 217)
    floor (0.521160125732422 × 131072)
    floor (68309.5)     		tx = 68309
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366817474365234 × 217)
    floor (0.366817474365234 × 131072)
    floor (48079.5)     		ty = 48079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68309 / 48079 ti = "17/68309/48079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68309/48079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68309 ÷ 217
    68309 ÷ 131072     		x = 0.521156311035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48079 ÷ 217
    48079 ÷ 131072     		y = 0.366813659667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521156311035156 × 2 - 1) × π
    0.0423126220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.13292902
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366813659667969 × 2 - 1) × π
    0.266372680664062 × 3.1415926535     		Φ = 0.83683445666732
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13292902} λ = 0.13292902}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.83683445666732))-π/2
    2×atan(2.30904601027347)-π/2
    2×1.16210240130859-π/2
    2.32420480261718-1.57079632675     		φ = 0.75340848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13292902} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.616272°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75340848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.167126°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68309 KachelY 48079 0.13292902 0.75340848 7.616272 43.167126
    Oben rechts KachelX + 1 68310 KachelY 48079 0.13297696 0.75340848 7.619019 43.167126
    Unten links KachelX 68309 KachelY + 1 48080 0.13292902 0.75337351 7.616272 43.165123
    Unten rechts KachelX + 1 68310 KachelY + 1 48080 0.13297696 0.75337351 7.619019 43.165123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75340848-0.75337351) × R
    3.49700000000785e-05 × 6371000     		dl = 222.7938700005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75340848-0.75337351) × R
    3.49700000000785e-05 × 6371000     		dr = 222.7938700005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13292902-0.13297696) × cos(0.75340848) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.729361271011827 × 6371000     		do = 222.765705926111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13292902-0.13297696) × cos(0.75337351) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.72938519454798 × 6371000     		du = 222.773012789844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75340848)-sin(0.75337351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.729361271011827-0.72938519454798)×R²
    abs(0.13297696-0.13292902)×2.39235361529921e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39235361529921e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39235361529921e-05×40589641000000     		ar = 49631.647693937m²