Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68305 / 48081
↖ ↑ ↗
← N 43.163119°
E  7.605286°		 ← 222.73 m → N 43.163119°
E  7.608032°		 →
↑
222.79 m
↓
↑
222.79 m
↓
N 43.161116°
E  7.605286°		 ← 222.74 m →
49 625 m²		 N 43.161116°
E  7.608032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48081 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521129608154297 y=0.366832733154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521129608154297 × 217)
    floor (0.521129608154297 × 131072)
    floor (68305.5)     		tx = 68305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366832733154297 × 217)
    floor (0.366832733154297 × 131072)
    floor (48081.5)     		ty = 48081
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68305 / 48081 ti = "17/68305/48081"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68305/48081.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68305 ÷ 217
    68305 ÷ 131072     		x = 0.521125793457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48081 ÷ 217
    48081 ÷ 131072     		y = 0.366828918457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521125793457031 × 2 - 1) × π
    0.0422515869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13273728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366828918457031 × 2 - 1) × π
    0.266342163085938 × 3.1415926535     		Φ = 0.83673858286808
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13273728} λ = 0.13273728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.83673858286808))-π/2
    2×atan(2.30882464387164)-π/2
    2×1.1620674368438-π/2
    2.32413487368759-1.57079632675     		φ = 0.75333855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13273728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.605286°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75333855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.163119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68305 KachelY 48081 0.13273728 0.75333855 7.605286 43.163119
    Oben rechts KachelX + 1 68306 KachelY 48081 0.13278521 0.75333855 7.608032 43.163119
    Unten links KachelX 68305 KachelY + 1 48082 0.13273728 0.75330358 7.605286 43.161116
    Unten rechts KachelX + 1 68306 KachelY + 1 48082 0.13278521 0.75330358 7.608032 43.161116
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75333855-0.75330358) × R
    3.49700000000785e-05 × 6371000     		dl = 222.7938700005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75333855-0.75330358) × R
    3.49700000000785e-05 × 6371000     		dr = 222.7938700005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13273728-0.13278521) × cos(0.75333855) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.72940911035139 × 6371000     		do = 222.733846637273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13273728-0.13278521) × cos(0.75330358) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.729433032103837 × 6371000     		du = 222.741151432161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75333855)-sin(0.75330358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72940911035139-0.729433032103837)×R²
    abs(0.13278521-0.13273728)×2.39217524471425e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39217524471425e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39217524471425e-05×40589641000000     		ar = 49624.5494093563m²