Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68303 / 69409
↖ ↑ ↗
← S 10.576922°
E  7.599792°		 ← 300.24 m → S 10.576922°
E  7.602539°		 →
↑
300.27 m
↓
↑
300.27 m
↓
S 10.579622°
E  7.599792°		 ← 300.23 m →
90 150 m²		 S 10.579622°
E  7.602539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68303 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69409 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521114349365234 y=0.529552459716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521114349365234 × 217)
    floor (0.521114349365234 × 131072)
    floor (68303.5)     		tx = 68303
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529552459716797 × 217)
    floor (0.529552459716797 × 131072)
    floor (69409.5)     		ty = 69409
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68303 / 69409 ti = "17/68303/69409"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68303/69409.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68303 ÷ 217
    68303 ÷ 131072     		x = 0.521110534667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69409 ÷ 217
    69409 ÷ 131072     		y = 0.529548645019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521110534667969 × 2 - 1) × π
    0.0422210693359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.13264140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529548645019531 × 2 - 1) × π
    -0.0590972900390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.185659612228477
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13264140} λ = 0.13264140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.185659612228477))-π/2
    2×atan(0.830556258065482)-π/2
    2×0.693097106533842-π/2
    1.38619421306768-1.57079632675     		φ = -0.18460211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13264140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.599792°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18460211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.576922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68303 KachelY 69409 0.13264140 -0.18460211 7.599792 -10.576922
    Oben rechts KachelX + 1 68304 KachelY 69409 0.13268934 -0.18460211 7.602539 -10.576922
    Unten links KachelX 68303 KachelY + 1 69410 0.13264140 -0.18464924 7.599792 -10.579622
    Unten rechts KachelX + 1 68304 KachelY + 1 69410 0.13268934 -0.18464924 7.602539 -10.579622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18460211--0.18464924) × R
    4.71299999999786e-05 × 6371000     		dl = 300.265229999863m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18460211--0.18464924) × R
    4.71299999999786e-05 × 6371000     		dr = 300.265229999863m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13264140-0.13268934) × cos(-0.18460211) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.983009363307037 × 6371000     		do = 300.236362214958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13264140-0.13268934) × cos(-0.18464924) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.983000711248419 × 6371000     		du = 300.233719653552m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18460211)-sin(-0.18464924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983009363307037-0.983000711248419)×R²
    abs(0.13268934-0.13264140)×8.65205861777518e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.65205861777518e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.65205861777518e-06×40589641000000     		ar = 90150.1436368076m²