Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68302 / 69423
↖ ↑ ↗
← S 10.614719°
E  7.597046°		 ← 300.20 m → S 10.614719°
E  7.599792°		 →
↑
300.14 m
↓
↑
300.14 m
↓
S 10.617418°
E  7.597046°		 ← 300.20 m →
90 101 m²		 S 10.617418°
E  7.599792°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68302 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521106719970703 y=0.529659271240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521106719970703 × 217)
    floor (0.521106719970703 × 131072)
    floor (68302.5)     		tx = 68302
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529659271240234 × 217)
    floor (0.529659271240234 × 131072)
    floor (69423.5)     		ty = 69423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68302 / 69423 ti = "17/68302/69423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68302/69423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68302 ÷ 217
    68302 ÷ 131072     		x = 0.521102905273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69423 ÷ 217
    69423 ÷ 131072     		y = 0.529655456542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521102905273438 × 2 - 1) × π
    0.042205810546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13259346
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529655456542969 × 2 - 1) × π
    -0.0593109130859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.186330728823158
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13259346} λ = 0.13259346}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.186330728823158))-π/2
    2×atan(0.829999044976268)-π/2
    2×0.692767269925999-π/2
    1.385534539852-1.57079632675     		φ = -0.18526179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13259346} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.597046°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18526179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.614719°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68302 KachelY 69423 0.13259346 -0.18526179 7.597046 -10.614719
    Oben rechts KachelX + 1 68303 KachelY 69423 0.13264140 -0.18526179 7.599792 -10.614719
    Unten links KachelX 68302 KachelY + 1 69424 0.13259346 -0.18530890 7.597046 -10.617418
    Unten rechts KachelX + 1 68303 KachelY + 1 69424 0.13264140 -0.18530890 7.599792 -10.617418
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18526179--0.18530890) × R
    4.71099999999891e-05 × 6371000     		dl = 300.137809999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18526179--0.18530890) × R
    4.71099999999891e-05 × 6371000     		dr = 300.137809999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13259346-0.13264140) × cos(-0.18526179) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.982888061585491 × 6371000     		do = 300.199313546891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13259346-0.13264140) × cos(-0.18530890) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.982879382651428 × 6371000     		du = 300.196662777033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18526179)-sin(-0.18530890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982888061585491-0.982879382651428)×R²
    abs(0.13264140-0.13259346)×8.67893406253373e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.67893406253373e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.67893406253373e-06×40589641000000     		ar = 90100.7667499687m²