Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68300 / 69364
↖ ↑ ↗
← S 10.455402°
E  7.591553°		 ← 300.35 m → S 10.455402°
E  7.594299°		 →
↑
300.33 m
↓
↑
300.33 m
↓
S 10.458103°
E  7.591553°		 ← 300.35 m →
90 205 m²		 S 10.458103°
E  7.594299°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69364 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521091461181641 y=0.529209136962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521091461181641 × 217)
    floor (0.521091461181641 × 131072)
    floor (68300.5)     		tx = 68300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529209136962891 × 217)
    floor (0.529209136962891 × 131072)
    floor (69364.5)     		ty = 69364
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68300 / 69364 ti = "17/68300/69364"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68300/69364.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68300 ÷ 217
    68300 ÷ 131072     		x = 0.521087646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69364 ÷ 217
    69364 ÷ 131072     		y = 0.529205322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521087646484375 × 2 - 1) × π
    0.04217529296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13249759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529205322265625 × 2 - 1) × π
    -0.05841064453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.183502451745575
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13249759} λ = 0.13249759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.183502451745575))-π/2
    2×atan(0.832349835025368)-π/2
    2×0.694157570150649-π/2
    1.3883151403013-1.57079632675     		φ = -0.18248119
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13249759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.591553°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18248119 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.455402°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68300 KachelY 69364 0.13249759 -0.18248119 7.591553 -10.455402
    Oben rechts KachelX + 1 68301 KachelY 69364 0.13254553 -0.18248119 7.594299 -10.455402
    Unten links KachelX 68300 KachelY + 1 69365 0.13249759 -0.18252833 7.591553 -10.458103
    Unten rechts KachelX + 1 68301 KachelY + 1 69365 0.13254553 -0.18252833 7.594299 -10.458103
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18248119--0.18252833) × R
    4.71400000000011e-05 × 6371000     		dl = 300.328940000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18248119--0.18252833) × R
    4.71400000000011e-05 × 6371000     		dr = 300.328940000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13249759-0.13254553) × cos(-0.18248119) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.983396458437825 × 6371000     		do = 300.354591031729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13249759-0.13254553) × cos(-0.18252833) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.983387902843589 × 6371000     		du = 300.351977933028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18248119)-sin(-0.18252833))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983396458437825-0.983387902843589)×R²
    abs(0.13254553-0.13249759)×8.55559423551533e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.55559423551533e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.55559423551533e-06×40589641000000     		ar = 90204.7835708385m²