Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6830 / 1743
↖ ↑ ↗
← N 80.360675°
W 29.926758°		 ← 409.12 m → N 80.360675°
W 29.904785°		 →
↑
409.15 m
↓
↑
409.15 m
↓
N 80.356996°
W 29.926758°		 ← 409.27 m →
167 420 m²		 N 80.356996°
W 29.904785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6830 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416900634765625 y=0.106414794921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416900634765625 × 214)
    floor (0.416900634765625 × 16384)
    floor (6830.5)     		tx = 6830
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106414794921875 × 214)
    floor (0.106414794921875 × 16384)
    floor (1743.5)     		ty = 1743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6830 / 1743 ti = "14/6830/1743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6830/1743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6830 ÷ 214
    6830 ÷ 16384     		x = 0.4168701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1743 ÷ 214
    1743 ÷ 16384     		y = 0.10638427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4168701171875 × 2 - 1) × π
    -0.166259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.52232046
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10638427734375 × 2 - 1) × π
    0.7872314453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.47316052519794
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52232046} λ = -0.52232046}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47316052519794))-π/2
    2×atan(11.8598711018128)-π/2
    2×1.48667735023797-π/2
    2.97335470047593-1.57079632675     		φ = 1.40255837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52232046} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.926758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40255837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.360675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6830 KachelY 1743 -0.52232046 1.40255837 -29.926758 80.360675
    Oben rechts KachelX + 1 6831 KachelY 1743 -0.52193696 1.40255837 -29.904785 80.360675
    Unten links KachelX 6830 KachelY + 1 1744 -0.52232046 1.40249415 -29.926758 80.356996
    Unten rechts KachelX + 1 6831 KachelY + 1 1744 -0.52193696 1.40249415 -29.904785 80.356996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40255837-1.40249415) × R
    6.42199999998372e-05 × 6371000     		dl = 409.145619998963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40255837-1.40249415) × R
    6.42199999998372e-05 × 6371000     		dr = 409.145619998963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52232046--0.52193696) × cos(1.40255837) × R
    0.000383499999999981 × 0.167445444385769 × 6371000     		do = 409.115854190675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52232046--0.52193696) × cos(1.40249415) × R
    0.000383499999999981 × 0.167508757340305 × 6371000     		du = 409.270545371265m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40255837)-sin(1.40249415))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167445444385769-0.167508757340305)×R²
    abs(-0.52193696--0.52232046)×6.33129545359601e-05×R²
    0.000383499999999981×6.33129545359601e-05×6371000²
    0.000383499999999981×6.33129545359601e-05×40589641000000     		ar = 167419.60548106m²