Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 683 / 939
↖ ↑ ↗
← N 69.318320°
W119.970703°		 ← 3 451.60 m → N 69.318320°
W119.882812°		 →
↑
3 454.10 m
↓
↑
3 454.10 m
↓
N 69.287257°
W119.970703°		 ← 3 456.56 m →
11 930 751 m²		 N 69.287257°
W119.882812°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 683 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 939 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1668701171875 y=0.2293701171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1668701171875 × 212)
    floor (0.1668701171875 × 4096)
    floor (683.5)     		tx = 683
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2293701171875 × 212)
    floor (0.2293701171875 × 4096)
    floor (939.5)     		ty = 939
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 683 / 939 ti = "12/683/939"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/683/939.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 683 ÷ 212
    683 ÷ 4096     		x = 0.166748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 939 ÷ 212
    939 ÷ 4096     		y = 0.229248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.166748046875 × 2 - 1) × π
    -0.66650390625 × 3.1415926535     		Λ = -2.09388378
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229248046875 × 2 - 1) × π
    0.54150390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.70118469371655
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09388378} λ = -2.09388378}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70118469371655))-π/2
    2×atan(5.4804361856647)-π/2
    2×1.3903146219708-π/2
    2.7806292439416-1.57079632675     		φ = 1.20983292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09388378} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.970703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20983292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.318320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 683 KachelY 939 -2.09388378 1.20983292 -119.970703 69.318320
    Oben rechts KachelX + 1 684 KachelY 939 -2.09234979 1.20983292 -119.882812 69.318320
    Unten links KachelX 683 KachelY + 1 940 -2.09388378 1.20929076 -119.970703 69.287257
    Unten rechts KachelX + 1 684 KachelY + 1 940 -2.09234979 1.20929076 -119.882812 69.287257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20983292-1.20929076) × R
    0.000542159999999958 × 6371000     		dl = 3454.10135999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20983292-1.20929076) × R
    0.000542159999999958 × 6371000     		dr = 3454.10135999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09388378--2.09234979) × cos(1.20983292) × R
    0.00153398999999999 × 0.353175719012746 × 6371000     		do = 3451.60406311844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09388378--2.09234979) × cos(1.20929076) × R
    0.00153398999999999 × 0.353682888668491 × 6371000     		du = 3456.5606576696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20983292)-sin(1.20929076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353175719012746-0.353682888668491)×R²
    abs(-2.09234979--2.09388378)×0.000507169655744766×R²
    0.00153398999999999×0.000507169655744766×6371000²
    0.00153398999999999×0.000507169655744766×40589641000000     		ar = 11930750.8708308m²