Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68298 / 69405
↖ ↑ ↗
← S 10.566122°
E  7.586060°		 ← 300.18 m → S 10.566122°
E  7.588806°		 →
↑
300.20 m
↓
↑
300.20 m
↓
S 10.568822°
E  7.586060°		 ← 300.18 m →
90 115 m²		 S 10.568822°
E  7.588806°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69405 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521076202392578 y=0.529521942138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521076202392578 × 217)
    floor (0.521076202392578 × 131072)
    floor (68298.5)     		tx = 68298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529521942138672 × 217)
    floor (0.529521942138672 × 131072)
    floor (69405.5)     		ty = 69405
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68298 / 69405 ti = "17/68298/69405"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68298/69405.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68298 ÷ 217
    68298 ÷ 131072     		x = 0.521072387695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69405 ÷ 217
    69405 ÷ 131072     		y = 0.529518127441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521072387695312 × 2 - 1) × π
    0.042144775390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13240172
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529518127441406 × 2 - 1) × π
    -0.0590362548828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.185467864629997
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13240172} λ = 0.13240172}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.185467864629997))-π/2
    2×atan(0.830715530502934)-π/2
    2×0.693191353034122-π/2
    1.38638270606824-1.57079632675     		φ = -0.18441362
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13240172} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.586060°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18441362 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.566122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68298 KachelY 69405 0.13240172 -0.18441362 7.586060 -10.566122
    Oben rechts KachelX + 1 68299 KachelY 69405 0.13244965 -0.18441362 7.588806 -10.566122
    Unten links KachelX 68298 KachelY + 1 69406 0.13240172 -0.18446074 7.586060 -10.568822
    Unten rechts KachelX + 1 68299 KachelY + 1 69406 0.13244965 -0.18446074 7.588806 -10.568822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18441362--0.18446074) × R
    4.71200000000116e-05 × 6371000     		dl = 300.201520000074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18441362--0.18446074) × R
    4.71200000000116e-05 × 6371000     		dr = 300.201520000074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13240172-0.13244965) × cos(-0.18441362) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.983043944205246 × 6371000     		do = 300.18429438173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13240172-0.13244965) × cos(-0.18446074) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.983035302713504 × 6371000     		du = 300.18165559827m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18441362)-sin(-0.18446074))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983043944205246-0.983035302713504)×R²
    abs(0.13244965-0.13240172)×8.64149174117923e-06×R²
    4.79300000000016e-05×8.64149174117923e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×8.64149174117923e-06×40589641000000     		ar = 90115.3853868158m²