Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68297 / 72393
↖ ↑ ↗
← S 18.503052°
E  7.583313°		 ← 289.64 m → S 18.503052°
E  7.586060°		 →
↑
289.63 m
↓
↑
289.63 m
↓
S 18.505657°
E  7.583313°		 ← 289.63 m →
83 886 m²		 S 18.505657°
E  7.586060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521068572998047 y=0.552318572998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521068572998047 × 217)
    floor (0.521068572998047 × 131072)
    floor (68297.5)     		tx = 68297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552318572998047 × 217)
    floor (0.552318572998047 × 131072)
    floor (72393.5)     		ty = 72393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68297 / 72393 ti = "17/68297/72393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68297/72393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68297 ÷ 217
    68297 ÷ 131072     		x = 0.521064758300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72393 ÷ 217
    72393 ÷ 131072     		y = 0.552314758300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521064758300781 × 2 - 1) × π
    0.0421295166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13235378
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.552314758300781 × 2 - 1) × π
    -0.104629516601562 × 3.1415926535     		Φ = -0.328703320694725
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13235378} λ = 0.13235378}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.328703320694725))-π/2
    2×atan(0.719856551611451)-π/2
    2×0.623928573164938-π/2
    1.24785714632988-1.57079632675     		φ = -0.32293918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13235378} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.583313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32293918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.503052°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68297 KachelY 72393 0.13235378 -0.32293918 7.583313 -18.503052
    Oben rechts KachelX + 1 68298 KachelY 72393 0.13240172 -0.32293918 7.586060 -18.503052
    Unten links KachelX 68297 KachelY + 1 72394 0.13235378 -0.32298464 7.583313 -18.505657
    Unten rechts KachelX + 1 68298 KachelY + 1 72394 0.13240172 -0.32298464 7.586060 -18.505657
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32293918--0.32298464) × R
    4.54599999999972e-05 × 6371000     		dl = 289.625659999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32293918--0.32298464) × R
    4.54599999999972e-05 × 6371000     		dr = 289.625659999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13235378-0.13240172) × cos(-0.32293918) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.948306751555417 × 6371000     		do = 289.637291340787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13235378-0.13240172) × cos(-0.32298464) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.94829232360943 × 6371000     		du = 289.632884674707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32293918)-sin(-0.32298464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948306751555417-0.94829232360943)×R²
    abs(0.13240172-0.13235378)×1.44279459878272e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.44279459878272e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.44279459878272e-05×40589641000000     		ar = 83885.7535378054m²