Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68294 / 72508
↖ ↑ ↗
← S 18.802318°
E  7.575073°		 ← 289.13 m → S 18.802318°
E  7.577820°		 →
↑
289.12 m
↓
↑
289.12 m
↓
S 18.804918°
E  7.575073°		 ← 289.12 m →
83 591 m²		 S 18.804918°
E  7.577820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68294 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72508 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521045684814453 y=0.553195953369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521045684814453 × 217)
    floor (0.521045684814453 × 131072)
    floor (68294.5)     		tx = 68294
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.553195953369141 × 217)
    floor (0.553195953369141 × 131072)
    floor (72508.5)     		ty = 72508
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68294 / 72508 ti = "17/68294/72508"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68294/72508.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68294 ÷ 217
    68294 ÷ 131072     		x = 0.521041870117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72508 ÷ 217
    72508 ÷ 131072     		y = 0.553192138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521041870117188 × 2 - 1) × π
    0.042083740234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.13220997
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.553192138671875 × 2 - 1) × π
    -0.10638427734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.334216064151032
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13220997} λ = 0.13220997}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.334216064151032))-π/2
    2×atan(0.715899085387481)-π/2
    2×0.621316984286543-π/2
    1.24263396857309-1.57079632675     		φ = -0.32816236
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13220997} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.575073°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32816236 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.802318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68294 KachelY 72508 0.13220997 -0.32816236 7.575073 -18.802318
    Oben rechts KachelX + 1 68295 KachelY 72508 0.13225791 -0.32816236 7.577820 -18.802318
    Unten links KachelX 68294 KachelY + 1 72509 0.13220997 -0.32820774 7.575073 -18.804918
    Unten rechts KachelX + 1 68295 KachelY + 1 72509 0.13225791 -0.32820774 7.577820 -18.804918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32816236--0.32820774) × R
    4.53800000000393e-05 × 6371000     		dl = 289.11598000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32816236--0.32820774) × R
    4.53800000000393e-05 × 6371000     		dr = 289.11598000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13220997-0.13225791) × cos(-0.32816236) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.946636220269372 × 6371000     		do = 289.127068086554m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13220997-0.13225791) × cos(-0.32820774) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.946621593139268 × 6371000     		du = 289.122600584518m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32816236)-sin(-0.32820774))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946636220269372-0.946621593139268)×R²
    abs(0.13225791-0.13220997)×1.46271301032508e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.46271301032508e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.46271301032508e-05×40589641000000     		ar = 83590.6098356681m²