Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6829 / 1716
↖ ↑ ↗
← N 80.459509°
W 29.948730°		 ← 404.95 m → N 80.459509°
W 29.926758°		 →
↑
405.07 m
↓
↑
405.07 m
↓
N 80.455866°
W 29.948730°		 ← 405.10 m →
164 063 m²		 N 80.455866°
W 29.926758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6829 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1716 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416839599609375 y=0.104766845703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416839599609375 × 214)
    floor (0.416839599609375 × 16384)
    floor (6829.5)     		tx = 6829
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.104766845703125 × 214)
    floor (0.104766845703125 × 16384)
    floor (1716.5)     		ty = 1716
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6829 / 1716 ti = "14/6829/1716"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6829/1716.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6829 ÷ 214
    6829 ÷ 16384     		x = 0.41680908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1716 ÷ 214
    1716 ÷ 16384     		y = 0.104736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41680908203125 × 2 - 1) × π
    -0.1663818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.52270395
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.104736328125 × 2 - 1) × π
    0.79052734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.48351489551587
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52270395} λ = -0.52270395}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48351489551587))-π/2
    2×atan(11.9833105652244)-π/2
    2×1.48753983616203-π/2
    2.97507967232407-1.57079632675     		φ = 1.40428335
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52270395} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.948730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40428335 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.459509°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6829 KachelY 1716 -0.52270395 1.40428335 -29.948730 80.459509
    Oben rechts KachelX + 1 6830 KachelY 1716 -0.52232046 1.40428335 -29.926758 80.459509
    Unten links KachelX 6829 KachelY + 1 1717 -0.52270395 1.40421977 -29.948730 80.455866
    Unten rechts KachelX + 1 6830 KachelY + 1 1717 -0.52232046 1.40421977 -29.926758 80.455866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40428335-1.40421977) × R
    6.3579999999952e-05 × 6371000     		dl = 405.068179999694m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40428335-1.40421977) × R
    6.3579999999952e-05 × 6371000     		dr = 405.068179999694m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52270395--0.52232046) × cos(1.40428335) × R
    0.000383490000000042 × 0.165744570507925 × 6371000     		do = 404.949586027204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52270395--0.52232046) × cos(1.40421977) × R
    0.000383490000000042 × 0.165807270779871 × 6371000     		du = 405.102776258961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40428335)-sin(1.40421977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165744570507925-0.165807270779871)×R²
    abs(-0.52232046--0.52270395)×6.27002719466863e-05×R²
    0.000383490000000042×6.27002719466863e-05×6371000²
    0.000383490000000042×6.27002719466863e-05×40589641000000     		ar = 164063.218102164m²