Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68283 / 72499
↖ ↑ ↗
← S 18.778916°
E  7.544861°		 ← 289.17 m → S 18.778916°
E  7.547607°		 →
↑
289.18 m
↓
↑
289.18 m
↓
S 18.781517°
E  7.544861°		 ← 289.16 m →
83 621 m²		 S 18.781517°
E  7.547607°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68283 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520961761474609 y=0.553127288818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520961761474609 × 217)
    floor (0.520961761474609 × 131072)
    floor (68283.5)     		tx = 68283
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.553127288818359 × 217)
    floor (0.553127288818359 × 131072)
    floor (72499.5)     		ty = 72499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68283 / 72499 ti = "17/68283/72499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68283/72499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68283 ÷ 217
    68283 ÷ 131072     		x = 0.520957946777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72499 ÷ 217
    72499 ÷ 131072     		y = 0.553123474121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520957946777344 × 2 - 1) × π
    0.0419158935546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13168266
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.553123474121094 × 2 - 1) × π
    -0.106246948242188 × 3.1415926535     		Φ = -0.333784632054451
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13168266} λ = 0.13168266}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.333784632054451))-π/2
    2×atan(0.716208013866869)-π/2
    2×0.621521203103812-π/2
    1.24304240620762-1.57079632675     		φ = -0.32775392
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13168266} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.544861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32775392 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.778916°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68283 KachelY 72499 0.13168266 -0.32775392 7.544861 -18.778916
    Oben rechts KachelX + 1 68284 KachelY 72499 0.13173060 -0.32775392 7.547607 -18.778916
    Unten links KachelX 68283 KachelY + 1 72500 0.13168266 -0.32779931 7.544861 -18.781517
    Unten rechts KachelX + 1 68284 KachelY + 1 72500 0.13173060 -0.32779931 7.547607 -18.781517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32775392--0.32779931) × R
    4.5390000000034e-05 × 6371000     		dl = 289.179690000217m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32775392--0.32779931) × R
    4.5390000000034e-05 × 6371000     		dr = 289.179690000217m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13168266-0.13173060) × cos(-0.32775392) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.946767783149785 × 6371000     		do = 289.16725077666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13168266-0.13173060) × cos(-0.32779931) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.946753170347072 × 6371000     		du = 289.162787650578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32775392)-sin(-0.32779931))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946767783149785-0.946753170347072)×R²
    abs(0.13173060-0.13168266)×1.46128027130876e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.46128027130876e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.46128027130876e-05×40589641000000     		ar = 83620.6506293985m²