Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6828 / 1713
↖ ↑ ↗
← N 80.470428°
W 29.970703°		 ← 404.50 m → N 80.470428°
W 29.948730°		 →
↑
404.56 m
↓
↑
404.56 m
↓
N 80.466790°
W 29.970703°		 ← 404.65 m →
163 675 m²		 N 80.466790°
W 29.948730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6828 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416778564453125 y=0.104583740234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416778564453125 × 214)
    floor (0.416778564453125 × 16384)
    floor (6828.5)     		tx = 6828
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.104583740234375 × 214)
    floor (0.104583740234375 × 16384)
    floor (1713.5)     		ty = 1713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6828 / 1713 ti = "14/6828/1713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6828/1713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6828 ÷ 214
    6828 ÷ 16384     		x = 0.416748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1713 ÷ 214
    1713 ÷ 16384     		y = 0.10455322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416748046875 × 2 - 1) × π
    -0.16650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.52308745
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10455322265625 × 2 - 1) × π
    0.7908935546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.48466538110675
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52308745} λ = -0.52308745}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48466538110675))-π/2
    2×atan(11.9971051250604)-π/2
    2×1.48763512546751-π/2
    2.97527025093501-1.57079632675     		φ = 1.40447392
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52308745} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.970703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40447392 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.470428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6828 KachelY 1713 -0.52308745 1.40447392 -29.970703 80.470428
    Oben rechts KachelX + 1 6829 KachelY 1713 -0.52270395 1.40447392 -29.948730 80.470428
    Unten links KachelX 6828 KachelY + 1 1714 -0.52308745 1.40441042 -29.970703 80.466790
    Unten rechts KachelX + 1 6829 KachelY + 1 1714 -0.52270395 1.40441042 -29.948730 80.466790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40447392-1.40441042) × R
    6.34999999999941e-05 × 6371000     		dl = 404.558499999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40447392-1.40441042) × R
    6.34999999999941e-05 × 6371000     		dr = 404.558499999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52308745--0.52270395) × cos(1.40447392) × R
    0.000383499999999981 × 0.165556633327098 × 6371000     		do = 404.500962740461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52308745--0.52270395) × cos(1.40441042) × R
    0.000383499999999981 × 0.165619256711339 × 6371000     		du = 404.653969108775m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40447392)-sin(1.40441042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165556633327098-0.165619256711339)×R²
    abs(-0.52270395--0.52308745)×6.26233842412061e-05×R²
    0.000383499999999981×6.26233842412061e-05×6371000²
    0.000383499999999981×6.26233842412061e-05×40589641000000     		ar = 163675.252804135m²