Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6827 / 1763
↖ ↑ ↗
← N 80.286812°
W 29.992676°		 ← 412.21 m → N 80.286812°
W 29.970703°		 →
↑
412.33 m
↓
↑
412.33 m
↓
N 80.283104°
W 29.992676°		 ← 412.37 m →
169 999 m²		 N 80.283104°
W 29.970703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6827 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416717529296875 y=0.107635498046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416717529296875 × 214)
    floor (0.416717529296875 × 16384)
    floor (6827.5)     		tx = 6827
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107635498046875 × 214)
    floor (0.107635498046875 × 16384)
    floor (1763.5)     		ty = 1763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6827 / 1763 ti = "14/6827/1763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6827/1763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6827 ÷ 214
    6827 ÷ 16384     		x = 0.41668701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1763 ÷ 214
    1763 ÷ 16384     		y = 0.10760498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41668701171875 × 2 - 1) × π
    -0.1666259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.52347094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10760498046875 × 2 - 1) × π
    0.7847900390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.46549062125873
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52347094} λ = -0.52347094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46549062125873))-π/2
    2×atan(11.7692549824217)-π/2
    2×1.48603277123478-π/2
    2.97206554246956-1.57079632675     		φ = 1.40126922
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52347094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.992676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40126922 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.286812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6827 KachelY 1763 -0.52347094 1.40126922 -29.992676 80.286812
    Oben rechts KachelX + 1 6828 KachelY 1763 -0.52308745 1.40126922 -29.970703 80.286812
    Unten links KachelX 6827 KachelY + 1 1764 -0.52347094 1.40120450 -29.992676 80.283104
    Unten rechts KachelX + 1 6828 KachelY + 1 1764 -0.52308745 1.40120450 -29.970703 80.283104
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40126922-1.40120450) × R
    6.47200000001291e-05 × 6371000     		dl = 412.331120000823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40126922-1.40120450) × R
    6.47200000001291e-05 × 6371000     		dr = 412.331120000823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52347094--0.52308745) × cos(1.40126922) × R
    0.000383490000000042 × 0.168716253828089 × 6371000     		do = 412.210046666226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52347094--0.52308745) × cos(1.40120450) × R
    0.000383490000000042 × 0.168780045691613 × 6371000     		du = 412.365903890669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40126922)-sin(1.40120450))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168716253828089-0.168780045691613)×R²
    abs(-0.52308745--0.52347094)×6.37918635238988e-05×R²
    0.000383490000000042×6.37918635238988e-05×6371000²
    0.000383490000000042×6.37918635238988e-05×40589641000000     		ar = 169999.162670135m²