Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68267 / 68542
↖ ↑ ↗
← S  8.227801°
E  7.500915°		 ← 302.28 m → S  8.227801°
E  7.503662°		 →
↑
302.24 m
↓
↑
302.24 m
↓
S  8.230519°
E  7.500915°		 ← 302.28 m →
91 361 m²		 S  8.230519°
E  7.503662°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520839691162109 y=0.522937774658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520839691162109 × 217)
    floor (0.520839691162109 × 131072)
    floor (68267.5)     		tx = 68267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522937774658203 × 217)
    floor (0.522937774658203 × 131072)
    floor (68542.5)     		ty = 68542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68267 / 68542 ti = "17/68267/68542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68267/68542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68267 ÷ 217
    68267 ÷ 131072     		x = 0.520835876464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68542 ÷ 217
    68542 ÷ 131072     		y = 0.522933959960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520835876464844 × 2 - 1) × π
    0.0416717529296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13091567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522933959960938 × 2 - 1) × π
    -0.045867919921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.144098320257889
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13091567} λ = 0.13091567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.144098320257889))-π/2
    2×atan(0.865802617937589)-π/2
    2×0.713597058710147-π/2
    1.42719411742029-1.57079632675     		φ = -0.14360221
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13091567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.500915°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14360221 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.227801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68267 KachelY 68542 0.13091567 -0.14360221 7.500915 -8.227801
    Oben rechts KachelX + 1 68268 KachelY 68542 0.13096361 -0.14360221 7.503662 -8.227801
    Unten links KachelX 68267 KachelY + 1 68543 0.13091567 -0.14364965 7.500915 -8.230519
    Unten rechts KachelX + 1 68268 KachelY + 1 68543 0.13096361 -0.14364965 7.503662 -8.230519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14360221--0.14364965) × R
    4.74399999999819e-05 × 6371000     		dl = 302.240239999885m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14360221--0.14364965) × R
    4.74399999999819e-05 × 6371000     		dr = 302.240239999885m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13091567-0.13096361) × cos(-0.14360221) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.989706909223436 × 6371000     		do = 302.281965132657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13091567-0.13096361) × cos(-0.14364965) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.989700119010836 × 6371000     		du = 302.279891226949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14360221)-sin(-0.14364965))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989706909223436-0.989700119010836)×R²
    abs(0.13096361-0.13091567)×6.79021260008295e-06×R²
    4.79399999999963e-05×6.79021260008295e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×6.79021260008295e-06×40589641000000     		ar = 91361.4602975947m²