Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68263 / 68773
↖ ↑ ↗
← S  8.855221°
E  7.489929°		 ← 301.72 m → S  8.855221°
E  7.492676°		 →
↑
301.73 m
↓
↑
301.73 m
↓
S  8.857934°
E  7.489929°		 ← 301.72 m →
91 038 m²		 S  8.857934°
E  7.492676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68263 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68773 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520809173583984 y=0.524700164794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520809173583984 × 217)
    floor (0.520809173583984 × 131072)
    floor (68263.5)     		tx = 68263
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524700164794922 × 217)
    floor (0.524700164794922 × 131072)
    floor (68773.5)     		ty = 68773
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68263 / 68773 ti = "17/68263/68773"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68263/68773.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68263 ÷ 217
    68263 ÷ 131072     		x = 0.520805358886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68773 ÷ 217
    68773 ÷ 131072     		y = 0.524696350097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520805358886719 × 2 - 1) × π
    0.0416107177734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.13072393
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524696350097656 × 2 - 1) × π
    -0.0493927001953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.155171744070122
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13072393} λ = 0.13072393}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.155171744070122))-π/2
    2×atan(0.856268105885017)-π/2
    2×0.708121785744117-π/2
    1.41624357148823-1.57079632675     		φ = -0.15455276
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13072393} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.489929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15455276 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.855221°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68263 KachelY 68773 0.13072393 -0.15455276 7.489929 -8.855221
    Oben rechts KachelX + 1 68264 KachelY 68773 0.13077186 -0.15455276 7.492676 -8.855221
    Unten links KachelX 68263 KachelY + 1 68774 0.13072393 -0.15460012 7.489929 -8.857934
    Unten rechts KachelX + 1 68264 KachelY + 1 68774 0.13077186 -0.15460012 7.492676 -8.857934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15455276--0.15460012) × R
    4.73599999999963e-05 × 6371000     		dl = 301.730559999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15455276--0.15460012) × R
    4.73599999999963e-05 × 6371000     		dr = 301.730559999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13072393-0.13077186) × cos(-0.15455276) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.988080476914726 × 6371000     		do = 301.722260234059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13072393-0.13077186) × cos(-0.15460012) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.988073185293195 × 6371000     		du = 301.720033649706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15455276)-sin(-0.15460012))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988080476914726-0.988073185293195)×R²
    abs(0.13077186-0.13072393)×7.29162153112473e-06×R²
    4.79300000000016e-05×7.29162153112473e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×7.29162153112473e-06×40589641000000     		ar = 91038.4906475909m²