Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68260 / 43692
↖ ↑ ↗
← N 51.323746°
E  7.481689°		 ← 190.87 m → N 51.323746°
E  7.484436°		 →
↑
190.81 m
↓
↑
190.81 m
↓
N 51.322030°
E  7.481689°		 ← 190.87 m →
36 420 m²		 N 51.322030°
E  7.484436°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68260 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43692 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520786285400391 y=0.333347320556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520786285400391 × 217)
    floor (0.520786285400391 × 131072)
    floor (68260.5)     		tx = 68260
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333347320556641 × 217)
    floor (0.333347320556641 × 131072)
    floor (43692.5)     		ty = 43692
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68260 / 43692 ti = "17/68260/43692"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68260/43692.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68260 ÷ 217
    68260 ÷ 131072     		x = 0.520782470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43692 ÷ 217
    43692 ÷ 131072     		y = 0.333343505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520782470703125 × 2 - 1) × π
    0.04156494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13058011
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333343505859375 × 2 - 1) × π
    0.33331298828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.04713363530051
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13058011} λ = 0.13058011}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04713363530051))-π/2
    2×atan(2.84947177586391)-π/2
    2×1.23328234456958-π/2
    2.46656468913917-1.57079632675     		φ = 0.89576836
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13058011} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.481689°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89576836 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.323746°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68260 KachelY 43692 0.13058011 0.89576836 7.481689 51.323746
    Oben rechts KachelX + 1 68261 KachelY 43692 0.13062805 0.89576836 7.484436 51.323746
    Unten links KachelX 68260 KachelY + 1 43693 0.13058011 0.89573841 7.481689 51.322030
    Unten rechts KachelX + 1 68261 KachelY + 1 43693 0.13062805 0.89573841 7.484436 51.322030
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89576836-0.89573841) × R
    2.99500000000563e-05 × 6371000     		dl = 190.811450000359m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89576836-0.89573841) × R
    2.99500000000563e-05 × 6371000     		dr = 190.811450000359m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13058011-0.13062805) × cos(0.89576836) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.624919150354495 × 6371000     		do = 190.866393937178m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13058011-0.13062805) × cos(0.89573841) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.624942531723974 × 6371000     		du = 190.873535209254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89576836)-sin(0.89573841))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624919150354495-0.624942531723974)×R²
    abs(0.13062805-0.13058011)×2.3381369479436e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.3381369479436e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.3381369479436e-05×40589641000000     		ar = 36420.174704275m²